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Aufgabe:

Stellen Sie die folgenden Funktionen in angegebenen Entwicklungspunkt als Potenzreihe dar,
indem Sie die Potenzreihendarstellung der Funktion et beziehungsweise die geometrische Reihe
benutzen. Für welche t ∈ R konvergiert die jeweilige Reihe?

a) $$e^{t-3}+1$$ in t0 = 1

b) $$e^{t^2-1}$$ in t0 = 0

c) $$\frac{1}{1+2t}$$ in t0 = 1

d) $$\frac{t^3}{1-3t}$$ in t0 = 0

Problem/Ansatz:

Für a):

Die allgemeine Form lautet ja: $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n (t-t_0)^n$$

Für $$a_n$$ habe ich eingesetzt: $$\frac{f(t_0)}{n!}$$

Daraus folgt: $$\frac{1+e^2}{e^2n!}(t-1)^n$$

Ist die Lösung richtig, oder fehlt da etwas?

Avatar von

Du solltest unbedingt die Formel für die an nochmal nachschlagen.

In dem Skript finde ich nur diese Formel. Was ist denn falsch hier?

Wenn das wahr ist wirf das Skript weg und sieh in wiki nach Taylorreihe oder Reihe für e^x nach

lul

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

die Lösung ist falsch. wie kommst du auf an=f(t0)/n!?

du sollst wohl die Reihe von e^x kennen, dann schreibe

et-3+1=1/e^2* et-1 +1 jetzt in der Reihe für e^x , x durch t-1 ersetzen. die Reihe durch e^2 dividieren, bzw vor die Summe schreiben und 1 addieren-

et^2-1 =1/e*et^2 und wieder t^2 statt x in die e Reihe einsetzen

c,d. vergleiche mit der geometrischen Reihe.

lul

Avatar von 108 k 🚀

Die allgemeine Form kenne ich, ja.

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Meine Frage jetzt:

Muss ich et-3+1=1/e2* et-1+1 umformen? Wenn ja warum?

Bin nun etwas verwirrt. In $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ setze ich wie du sagtest für x t-1 ein. $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}$$ Kann leider gerade nicht nachvollziehen, was ich dahinter noch einsetzen muss. Der Entwicklungspunkt ist ja t0 = 1. Dann habe ich e-2+1 richtig? Wo muss ich das aber jetzt einsetzen? Das ist mir gerade etwas unklar.

Okay, wahrscheinlich ist $$\frac{1}{e^2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}$$ gemeint. Aber habe ich hier den Entwicklungspunkt beachtet?

Oder ist $$\frac{1}{e^2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}+1$$ hier die Lösung?

Habe es mir mit WolframAlpha ausrechnen lassen, und dort kam als Lösung $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{e^2n!}+\frac{1}{e^2}+1$$

Das ist nicht das, was ich oben geschrieben habe.

Hallo

deine Formel im letzten post ist richtig, die 1/e^2 in wolfram verstehe ich nicht, es sei denn der fängt die Summe bei 1 statt bei 0 an. ob 1/e^2 in der Summe oder davor steht ist egal.

Gruß lul

Stimmt, ich habe at t = 1 hingeschrieben. Dachte das gibt den Entwicklungspunkt an.

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