Potenzreihen mit Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die folgenden Funktionen in angegebenen Entwicklungspunkt als Potenzreihe dar,
indem Sie die Potenzreihendarstellung der Funktion e^t beziehungsweise die geometrische Reihe
benutzen. Für welche t ∈ R konvergiert die jeweilige Reihe?

a) $$e^{t-3}+1$$ in t₀ = 1

b) $$e^{t^2-1}$$ in t₀ = 0

c) $$\frac{1}{1+2t}$$ in t₀ = 1

d) $$\frac{t^3}{1-3t}$$ in t₀ = 0

Problem/Ansatz:

Für a):

Die allgemeine Form lautet ja: $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n (t-t_0)^n$$

Für $$a_n$$ habe ich eingesetzt: $$\frac{f(t_0)}{n!}$$

Daraus folgt: $$\frac{1+e^2}{e^2n!}(t-1)^n$$

Ist die Lösung richtig, oder fehlt da etwas?

Comments

Du solltest unbedingt die Formel für die an nochmal nachschlagen.

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In dem Skript finde ich nur diese Formel. Was ist denn falsch hier?

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Wenn das wahr ist wirf das Skript weg und sieh in wiki nach Taylorreihe oder Reihe für e^x nach

lul

Answer 1

Hallo

die Lösung ist falsch. wie kommst du auf an=f(t0)/n!?

du sollst wohl die Reihe von e^x kennen, dann schreibe

e^t-3+1=1/e^2* e^t-1 +1 jetzt in der Reihe für e^x , x durch t-1 ersetzen. die Reihe durch e^2 dividieren, bzw vor die Summe schreiben und 1 addieren-

e^{t^2-1} =1/e*e^{t^2} und wieder t^2 statt x in die e Reihe einsetzen

c,d. vergleiche mit der geometrischen Reihe.

lul

Comments

Die allgemeine Form kenne ich, ja.

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Meine Frage jetzt:

Muss ich e^t-3+1=1/e²* e^t-1+1 umformen? Wenn ja warum?

Bin nun etwas verwirrt. In $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ setze ich wie du sagtest für x t-1 ein. $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}$$ Kann leider gerade nicht nachvollziehen, was ich dahinter noch einsetzen muss. Der Entwicklungspunkt ist ja t0 = 1. Dann habe ich e^-2+1 richtig? Wo muss ich das aber jetzt einsetzen? Das ist mir gerade etwas unklar.

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Okay, wahrscheinlich ist $$\frac{1}{e^2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}$$ gemeint. Aber habe ich hier den Entwicklungspunkt beachtet?

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Oder ist $$\frac{1}{e^2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{n!}+1$$ hier die Lösung?

Habe es mir mit WolframAlpha ausrechnen lassen, und dort kam als Lösung $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(t-1)^n}{e^2n!}+\frac{1}{e^2}+1$$

Das ist nicht das, was ich oben geschrieben habe.

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Hallo

deine Formel im letzten post ist richtig, die 1/e^2 in wolfram verstehe ich nicht, es sei denn der fängt die Summe bei 1 statt bei 0 an. ob 1/e^2 in der Summe oder davor steht ist egal.

Gruß lul

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Stimmt, ich habe at t = 1 hingeschrieben. Dachte das gibt den Entwicklungspunkt an.