Begründen, dass Menge aller koendlichen Teilmengen von N abzählbar ist?

Question

Hallo.

Wie zeige ich denn, dass die Menge aller koendlchen Teilmengen von ℕ abzählbar ist.

in der Aufgabe wird noch folgende Bemerkung gegeben: Für eine beliebige unendliche Menge A heißt die Teilmenge B⊂A koendlich, falls ihr Komplement A/B endlich ist.

Kann ich einfach die koendlichen Teilmengen als endliche Teilmengen sehen, denn so eine Frage wurde hier ja schon mal gestellt oder kann ich es einfach durch die Definitionen begründen, das jede teilmenge abzählbarer Mengen auch abzählbar ist??

Answer 1

Kann ich einfach die koendlichen Teilmengen als endliche Teilmengen sehen,
nein, denn es sind ja die , bei denen das komplement endlich ist, also
z. B.  {5,6,7,8,......} Komplement wäre {0,1,2,3,4} und die ist endlich, die
erste aber nicht.
Versuche mal so ähnlich wie IN x IN ist abzählbar.

Comments

Wenn ich doch ℕxℕ als (unendlich) abzählbar sehe, dann ist ja auch die Menge aller Paare (x,y) die sich darin befinden abzählbar unendlich, weil ich ja jedem Paar eine Zahl bijektiv zuordnen kann. 

aber ich weiß nicht wie mir das helfen soll ?

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Vielleicht kannst du das doch auf die endlichen Teilmengen zurückspielen:

Jede koendliche Teilmenge ist ja durch eine endliche Menge (nämlich ihr Komplement)

eindeutig bestimmt.

wenn du nun eine Bijektion von N auf die Menge der endlichen Teilmengen

von N hast, dann setzt du einfach die folgende Bijektion dahinter

  f :  Menge aller endlichen Teilmengen von N → Menge aller koendlichen Teilm von N

                                                       M ------------  N \ M