f(x) = cos(2x) + 0.5x Nullstellen numerisch (Newtonverfahren)

Question

Hallo

f(x) = cos(2x) + 0.5x ich bin schon eine ganze Weile daran, die Nullstellen dieser Funktion numerisch (Newtonverfahren) zu bestimmen, ich kriege die ganze Zeit 1.99514 raus.  Meine Startwerte waren, 0, 1, 2, 3

WA aber: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%282x%29+%2B+0.5x+%3D+0

An die anderen Nullstellen komme ich gar nicht erst ran, wenn ich es numerisch mache, da ich immer wieder bei 1.99514 lande. Die Periodizität ziehe ich natürlich dann in Betracht, was mir leider dennoch nicht die Werte Wolfram's liefert.

Muss ich da irgendwie auf Degree/Radian achten?

Habe es die ganze Zeit mir Degree gemacht, bei Radian springt der TR die bei jedem Schritt in großen Zahlenwertschritten.

LG

Comments

Also mit Radian und den Startwerten -1, 1, 2 konvergiert das bei mir gut gegen die Lösungen von WolframAlpha

Answer 1

Sinus und Cosinus-Funktionen werden immer im Bogenmaß gerechnet.

x = x - (COS(2·x) + 0.5·x)/(0.5 - 2·SIN(2·x))

Ich fange mal bei 0 an.

0 - (COS(2·0) + 0.5·0)/(0.5 - 2·SIN(2·0)) = -2

(-2) - (COS(2·(-2)) + 0.5·(-2))/(0.5 - 2·SIN(2·(-2))) = -3.631447789

(-3.631) - (COS(2·(-3.631)) + 0.5·(-3.631))/(0.5 - 2·SIN(2·(-3.631))) = -3.048738982

(-3.049) - (COS(2·(-3.049)) + 0.5·(-3.049))/(0.5 - 2·SIN(2·(-3.049))) = 1.062029018

(1.062) - (COS(2·(1.062)) + 0.5·(1.062))/(0.5 - 2·SIN(2·(1.062))) = 1.066646990

(1.067) - (COS(2·(1.067)) + 0.5·(1.067))/(0.5 - 2·SIN(2·(1.067))) = 1.066666025

Das sollte in etwa eine Nullstelle sein.

Mit anderen Startwerten sollte man auch die anderen Nullstellen bekommen.

Answer 2

Rad ist jedenfalls wichtig.   Die cos-Funktion als differenzierbare Funktion betrachtet

arbeitet immer damit.

mit f ' (x) = 0,5 - 2*sin(2x) kriege ich beim Startwert 1

(Blick auf den Funktionsgraphen zeigt, das muss in der Nähe von 1 sein.

x1 = 1 -  f(1) / f ' (1) = 1,06359

x2 = 1,0659 -   f(1,06359) / f ' (1,06359) = 1,06666

etc.

Und dann gibt es wohl noch was in der Nähe von 1,6 und -0,6.

Answer 3

§1: SI-Einheit des Winkels ist [Rad]. Merke: Vollkreis = 2 Pi = 360° (veraltete Einheit °=Grad)

Warum 2 Pi: weil Reihenentwicklung von sin(x) = x + ....

und weil Bogenlänge (Integral von... ) des Vollkreises den Umfang U = 2Pi * r ergibt.

§2: Wenn Du die Zwischenergebnisse kontrollieren willst, siehe Dir den Iterationsrechner Beispiel 118 an:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm   

4 Iterationen reichen immer aus:

Auch mit aC[ ]= Änderungs-Differenz: