Zeigen Sie: Das von x erzeugte Ideal (x) ist ein Ring. Was ist das Einselement in (x)?

Question

Aufgabe:

Es sei \( R \) ein Ring und \( x \in R \) ein Element mit \( x^{2}=x . \) Zeigen Sie:

(i) Das von \( x \) erzeugte Ideal \( (x) \) ist ein Ring. Was ist das Einselement von \( (x) \) ?

(ii) Die Abbildung \( f: R \longrightarrow(x), r \longmapsto r x \) ist ein Ringhomomorphismus.

(iii) Der Ring \( R /(x-1) \) ist isomorph zu \( (x) \).

Ansatz/Problem:

Bei uns ist der Ring als stets kommutativ mit Eins definiert.
Es gilt (x)={x·a | a ∈ R} oder?

Nun muss ich ja die Ringaxiome nachweisen.

Bevor ich nun weitermache, würde es mich interessieren, ob das soweit überhaupt stimmt? Ich habe ja bis jezt auch gar nicht ausgenutzt, dass x²=x gilt, da ich nicht wusste inwiefern ich es verwenden soll.

Comments

Was folgt ist absolut ohne Gewähr, da es sich eher auf die Gruppen- als auf die Ringaxiome und oder Definition von erzeugten Idealen bezieht. -> Suche unbedingt mal die Definition von Ring und erzeugtem Ideal raus.

x^2 = x würde heissen, dass (x) = {x}.

x selbst wäre das Einselement der Multiiplikation. Gleichzeitig ist x das multiplikative Inverse von x.

EDIT https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

besagt, dass

von x erzeugtes Ideal  = {x, x-x^2 = 0, jetzt könnte man noch x mit Ringelementen multplizieren} man sollte aber immer x ausklammern können, wenn ich "Erzeugung von Idealen" richtig lese.

---

(x) besteht nach meiner Definition aus den endlichen Linearkombinationen von Elementen aus M mit Koeffizienten in R, also in Worten ausgedrückt.
Ich muss ja ein Element aus der Menge x, was ja nur x ist, mit einem weiteren Element aus R multiplizieren oder? Muss dieses Element dann x sein? Wenn ja, dann würde ja folgen, dass (x)={x·x}={x²}={x}, wodurch ich es dann nachvollziehen könnte. Allerdings weiß ich dann nicht, wieso ich x als das Element aus R wählen muss, dass ich mit x multiplziere.
Dass x das Einselement und das multiplikativ Inverse von x ist, verstehe ich, wenn (x)={x} gilt.

---

Zur Definition oben: Das erste (x) muss ein (M) sein.
Wenn x das einzige Element in (x) ist, würde ich, da das neutrale Element in ((x),+) ja 0 ist, feststellen, dass der Nullring vorliegt, also das x=0 ist, oder? Das würde allerdings ja nicht passen, da es ja mehrere Elemente in einem Ring geben kann, die quadriert wieder sich selbst ergeben.

---

Ich habe oben gerade noch bearbeitet. Folgerung könnte daraus sein:

(x) = { x, 0, und alle ax mit a Element R}

---

Ist das dann nicht das was ich geschrieben habe eigentlich? 0 und 1 sind ja Elemente in R. Somit muss man 0 und x ja nicht extra erwähnen, da 0·x=0 und 1·x=x, wodurch folgen würde, dass (x)={x·a | a ∈ R}.

---

Ohne Gewähr (meine Kommentare) bin ich wohl gleicher Meinung, wie du.

---

Ok, vielleicht kommt ja noch jemand und verbessert mich, da ich dann keine Ahnung hab wie ich die (ii) machen soll. Ich scheitere ja schon beim Zeigen von f(1)=1, da f(1)=1·x=x. Das ist ja allerdings nur 1, wenn x=1 ist. Hättest du da vielleicht eine Idee?

---

f(1) = 1 ist nicht die Eigenschaft eines Ringhomomorphismus.

ist f: R ->S und R und S Ringe, so meinst du doch bestimmt

$$ f(1_R) = 1_S $$

in diesem Fall also überprüfst du \( f(1_R) = 1_{(x)} \) und das müsste eigentlich klar sein, da du ja das Einselement von (x) schon aus (1) kennst.

---

Nur um mit der Notation von Idealen nicht durcheinander zukommen ich meinte:

....., da du ja das Einselement von (x) schon aus der Teilaufgabe (i) kennst ;)

---

Bin mir bei dem Einselement nicht wirklich sicher, da x₂·a₂=1 sein muss, damit (x₂·a₂)(x₁·a₁)=1·(x₁·a₁)=x₁·a₁ ist. Das ist ja der Fall, wenn a₂ das multiplikative Inverse von x₂ ist. Somit wäre das Einselement ja 1.
Mit der Aussage von Lu würde es ja funktionieren, wenn (x)={x} ist, da wir dann ja f(1_R)=1·x=x hätten. Aber (x)={x} stimmt ja nicht oder doch?

---

Dem ersten Teil deiner Ausführung kann ich nicht folgen, was bitte ist \(x_2\) und \(a_2\) und warum muss das gelten?

(x) = {x} wäre nur ein Spezialfall. Für die Lösung der Aufgabe brauchst du nicht wirklich konkret zu wissen was x ist, aber wenns dem Verständnis hilft: zu allerst ist x ein Element des Ringes R. Außerdem gilt \( x^2 = x\)

Dies bedeutet aber: \( x^2-x = 0\) oder auch \(x(x-1) = 0 \). Nun gibt es die Fälle

1) x = 0 (also ist (x) das Nullideal)

2) x = 1 (dann ist (x) gleich dem Ring R)

3) x ist ein Nullteiler -> Beispiel dazu: betrachte den Ring \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) und \( x = 3\)

Falls ich einen Fall übersehen habe kann man mich gerne ergänzen.

---

Es gilt ja (x)={x·a | a ∈ R}. Ich dachte nun, dass ich die Ringeigenschaten für dieses Ideal nachweisen muss. Und die 4. Ringeigenschaft (so ist es mal bei uns im Skript) sagt ja, dass ein e ∈ R existiert mit e·a=a·e=a mit a ∈ R. Und meine Elemente im Ideal (x) haben ja die Form x·a. Somit dachte ich also, dass e=1 sein muss, damit e·a=1·a=a ist. Und e:=x₂·a₂ ist 1, wenn a₂ das Inverse von x₂ ist.
Das, was du geschrieben hast, verstehe ich grob. Nur wieso kann ich einfach diese Gleichung betrachten, die drei Fälle aufschreiben und dann direkt sagen, dass es Ringe sind ohne die Ringeigenschaften zu überprüfen?

---

Nein richtig wäre nach einem e zu suchen so dass gilt eax = ax. Da der Ring kommutativ ist ist e = x.

Denn xax = axx =ax^2=ax.

Und mein Kommentar bezog sich auf deine Frage und nicht auf den Beweis zum Aufgabenteil i.

Wenn es bei euch wichtig ist alle einzelnen Axiome nachzurechnen, dann mach das ruhig. Ist aber in diesem Fall nicht nötig, denn aus der Definition eines Ideals geht hervor das dieses ein Unterring vom ursprunglichen Ring ist und somit selbst auch ein Ring.

---

Achso ok, jetzt habe ich das mit dem Einselement verstanden.

Welche Frage meinst du? Das einzige wo x₂ und a₂ vorkam, war ja:
"Bin mir bei dem Einselement nicht wirklich sicher, da x₂·a₂=1 sein muss, damit (x₂·a₂)(x₁·a₁)=1·(x₁·a₁)=x₁·a₁ ist. Das ist ja der Fall, wenn a₂ das multiplikative Inverse von x₂ ist. Somit wäre das Einselement ja 1." Dachte, du würdest wissen wollen, was ich in diesem Zusammenhang damit meine.

Habe im Internet folgendes gefunden: "Jedes Ideal ist ein Unterring, d.h. eine additive Untergruppe, die zusätzlich unter Multiplikation abgeschlossen ist." Das ist ja in diesem Fall so. Nur steht bei uns im Skript "Die einzige Teilmenge von R, die gleichzeitig ein Unterring und ein Ideal von R ist, ist R selbst." Muss dann wohl doch leider die Ringaxiome durchgehen.

Danke für deine Hilfe, hat mir geholfen :)

---

Ich meinte die Frage ob (x) = {x} sein muss :)

Kein Thema. Das ist aber komisch, wenn das bei euch so im Skript steht müsste das falsch sein ^^.

---

Keine Sorge, das stimmt schon: Ein Unterring von \(R\) soll (je nach Autor) auch die Eins von \(R\) haben. Der Text aus dem Internet betrachtet Ringe ohne Eins.

---

Ok, danke für die Aufklärung :).

---

@Yakyu: Ok, also dann hatten wir etwas anderes gemeint. Aber hab's ja jetzt verstanden wie ich vorgehen muss. Nur wegen dem dritten Fall muss ich mal schauem, ob es nicht doch eine Möglichkeit gibt zu sagen, dass es ein Ring ist ohne die Eigenschaften nachzuweisen :)

@Ché Netzer: Ok, danke :)

---

Ok, ich glaube ich hab's. Ich kann einfach mit dem Unterringkriterium arbeiten, das geht schneller als wenn ich die Ringaxiome nachweisen möchte :)

Answer 1

Zu (i):

Ein Ideal eines kommutativen Ringes \(R\) ist ein Ring per se,
wenn es ein neutrales Element der Multiplikation besitzt.

Ist \(b\in (x)=xR\), dann gibt es ein \(a\in R\) mit \(b=xa\).

Hieraus ergibt sich \(xb=ax^2=ax =b\), d.h. \(x\) ist neutrales Element

der Multiplikation in \((x)\).

Zu (ii):

Es gilt

1. \(f(r+s)=(r+s)x=rx+sx=f(r)+f(s)\) für alle \(r,s\in R\).

2. \(f(rs)=rsx=rsx^2=(rx)(sx)=f(r)f(s)\) für alle \(r,s\in R\).

3. \(f(1)=x\), d.h. \(f\) bildet das Einslement von \(R\) auf das Einselement von \((x)\) ab.

Zu (iii):

Man hat

\(r=1\cdot r=((x+(1-x))r=xr+(1-x)r\), d.h. \(rx=0\iff r=(1-x)r\),

woraus \(Kern(f)=(x-1)\) folgt. Der Homomorphiesatz liefert die Behauptung.

Comments

Bewundernswert wie immer, magne ermane!

Frage:

Wozu braucht man das in der Praxis?

Kommt das irgendwo im Leben vor? Welche Bedeutung hat das alles?

Ich kann damit überhaupt nichts anfangen.

Bitte um laienfreundliche Aufklärung. :)

---

Hallo supporter,

es gibt ja in der Mathematik auch Strukturen wie Gruppen oder Ringe
oder z.B. Boolsche Algebren. Vielen dieser Straukturen wird man im
"normalen" Leben nicht begegnen, sondern wenn es um Anwendungen
geht, nur in Sonderbereichen z.B. der Physik oder Codierunghstheorie.

Beispiele aus der Physik findet man in der Festkörperphysik oder
in der Röntgenkristallographie und natürlich auch in der Quantenphysik.
Hier geht es häufig um Gruppentheorie (ISymmetriegruppen) oder
spezielle Matrizenstrukturen, deren Verhalten man kennen muss,
wie z.B. Vertauschbarkeit oder Nilpotenz und natürlich Eigenwertspektren
von linearen Operatoren.

Ein Beispiel aus der Technik wäre die Codierung von Musik etc. auf CDs.
Da diese leicht Fehler aufweisen können (z.B. durch mikroskopische
Kratzer oder Staub-Partikel), muss die Information so codiert werden,
dass sie nicht nur redundant ist, sondern sich selbst zu einem gewissen
Grad reparieren kann. Zu diesem Zweck sind in den CD-Playern
Decoder implementiert, die in endlichen Körpern Berechnungen
durchführen, häufig in Galois-Feldern der Charakteristik 2.

Wenn du viel Zeit haben solltest, kannst du ja Bücher oder Artikel
über die Geschichte der Mathematik ab dem 19. Jahrhundert
studieren ...

Liebe Grüße
ermanus