Sind die Vektoren vec{a} und vec{c} orthogonal zueinander? Welchen Winkel bildet die Summe aller drei Vektoren …

Question

Gegeben sind die Ortsvektoren der Punkte \( A, B, C \) mit \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {5} \\ {3}\end{array}\right) \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {-3} \\ {7}\end{array}\right) \vec{c}=\left(\begin{array}{c}{4} \\ {1} \\ {-9}\end{array}\right) \)

a) Sind die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{c} \) orthogonal zueinander?

b) Welchen Winkel bildet die Summe aller drei Vektoren mit den Koordinatenachsen?

c) Geben Sie die Gleichung einer Geraden \( g \) an, die durch die Punkte A und B verläuft.

d) Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, durch den Punkt C geht und senkrecht auf g steht.

Ansatz/Problem:

Mein Lösungsweg zu Aufgabe d)

Wenn ich zur Überprüfung das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren bilde = 0.
Oder seht ihr einen Fehler?
Hier ein anderer Lösungsweg von Kommilitonen:  Anderen Weg und anderes glattes Ergebnis, warum?

Comments

dein g1: stimmt schon mal, bis auf das "gleich".

Üblicherweise schreibt man 

g: r = 0A + t AB

Vektoren fett.

Warum teilt ihr den Richtungsvektor nicht durch -2?

g2 muss zum Schluss zwingend ein (4,1,-9)  + .... enthalten und auch einen Parameter.

Woher kommen denn die Kommas bei dir?

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Entschuldige, natürlich ein plus ganz unten!
Hast Recht! Da kann man kürzen!
was meinst du mit Kommas?
Ist mein Ergebnis jetzt richtig?
Warum ist das bei den anderen anders und so glatt?
Hier mit plus 

Answer 1

d)

B - A = [-1, -3, 7] - [1, 5, 3] = [-2, -8, 4]

X = [4, 1, -9] + r * [0, 4, 8]

Comments

Wie viele Lösungen gibt es denn bitte?
Was ist mit meiner so unglatten Lösung? Warum ist die so? Wie hast du das gemacht? Danke. LG

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Es gibt unendlich viele Lösungen. 

Wenn du zu einem Vektor einen senkrechten suchst kannst du einen Eintrag auf Null setzen, die anderen Beiden Vertauschen und einen davon noch im Vorzeichen ändern. Das gibt ein Skalarprodukt von Null.

[a, b, c] senkrecht sind also z.B. [0, c, -b], [c, 0, -a] oder [b, -a, 0]

Wenn deine Werte ein Sklararprodukt von Null geben ist es ebenso richtig. Ich habe deine Variante jetzt aber nicht nachgerechnet.

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danke für die Antwort.

Kannst du das bitte vielleicht für mich visualisieren? Oder mir sagen, wo ich das selbst machen kann?

Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen. Der Vektor soll doch durch einen vorgegeben Punkt laufen und orthogonal zu einer andere Geraden stehen. (Das wäre der 2. Punkt)

Also sind doch 2 feste Punkte vorgegeben.

Wie können de unendlich Vektoren auftreten?

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Mathecoach, 

 Dieser Vektor X von dir steht zwar orthogonal zu g1 und geht durch C, steht aber nicht genau senkrecht auf g1.

Somit ist dieser Trick leider nicht möglich.

Es gibt nur eine einzige Gerade g2, die durch C geht und genau senkrecht auf g1 steht

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Hier die Lösung:

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Ich verstehe was du meinst. 

Ok damit muss die Senkrechte durch C nicht nur senkrecht zu g sein sondern auch einen Schnittpunkt mit C haben.

Richtungsvektor AB bleibt gleich

B - A = [-1, -3, 7] - [1, 5, 3] = [-2, -8, 4]

X = A + r * AB = [1, 5, 3] + r * [-2, -8, 4] = [1 - 2·r, 5 - 8·r, 4·r + 3]

Nun suchst du einen Punkt der Geraden der verbunden mit C senkrecht zur Geraden ist

C - X = [4, 1, -9] - [1 - 2·r, 5 - 8·r, 4·r + 3] = [2·r + 3, 8·r - 4, - 4·r - 12]

[2·r + 3, 8·r - 4, - 4·r - 12] * [-2, -8, 4] = 0

r = - 11/42 --> [1 - 2·(- 11/42), 5 - 8·(- 11/42), 4·(- 11/42) + 3] = [32/21, 149/21, 41/21]

Dann kann man jetzt eine Geradengleichung dadurch legen.

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Ich bin mit allem bis auf die vorletzte Zeile einverstanden.
r=-11/42 muss doch nicht in x sondern in x-c eingesetzt werden.
Oder?

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Dein erstellter Richtungsvektor für g2 schneidet die Gerade g1 (nicht senkrecht) genau dort, wo g2 senkrecht auf g1 stehen sollte. g2 geht zwar  durch C, steht aber nicht senkrecht auf g1. 

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Dein Gerade mit deinem Richtungsvektor

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Meine Gerade mit meinem Richtungsvektor Richtungsvektor

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Ich bin mit allem bis auf die vorletzte Zeile einverstanden. 
r=-11/42 muss doch nicht in x sondern in x-c eingesetzt werden. 
Oder?

Wenn ich es in X einsetze habe ich den Punkt auf der Geraden, wenn ich es in C - X einsetze habe ich den Richtungsvektor.

Und damit kann ich auch die Gerade aufstellen. Nur das Gerade aufstellen hab ich mir mal geschenkt. Sollte ja klar sein.

Aber du hast recht. es war nicht nur gefordert das die neue Gerade senkrecht zu g ist sondern das sie senkrecht auf g steht und somit einem Punkt mit g gemeinsam hat.