Aufgabe: Hier soll der Winkel zwischen zei Vektoren bestimmt werden.
Problem/Ansatz: Warum muss hier gefordert werden,dass alpha > 0 ist,also warum ist nicht auch -\( \sqrt{6} \) eine Lösung?
Text erkannt:
2. Vorgegeben seien die beiden Vektoren
\( \vec{x}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{y}_{\alpha}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \alpha \end{array}\right) \)
wobei \( \alpha \in \mathbb{R} \) ein reeller Parameter ist. Bestimmen Sie die Menge \( M \) aller \( \alpha \in \mathbb{R} \), für die die beiden Vektoren \( \vec{x} \) und \( \vec{y}_{\alpha} \) einen Winkel von \( 60^{\circ} \) einschließen.
Hinweis: Es gelten
\( \cos (0)=1, \quad \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \)
\( M=\{\sqrt{6}\} \)
Text erkannt:
2. Für den Winkel \( \varphi \) zwischen \( \vec{x} \) und \( \vec{y}_{\alpha} \) muss gelten
\( \cos (\varphi)=\frac{\left\langle\vec{x}, \vec{y}_{\alpha}\right\rangle}{\|\vec{x}\|_{2} \cdot\left\|\vec{y}_{\alpha}\right\|_{2}} \stackrel{!}{=} \frac{1}{2} . \)
Umstellen der obigen Gleichung führt auf
\( \begin{aligned} 2 \cdot\left\langle\vec{x}, \vec{y}_{\alpha}\right\rangle=\|\vec{x}\|_{2} \cdot\left\|\vec{y}_{\alpha}\right\|_{2} & \Leftrightarrow 2 \cdot \alpha=\sqrt{3 \cdot\left(2+\alpha^{2}\right)} \\ & \Leftrightarrow 4 \cdot \alpha^{2}=6+3 \cdot \alpha^{2} \text { und } \alpha>0 \\ & \Leftrightarrow \alpha^{2}=6 \text { und } \alpha>0 \\ & \Leftrightarrow \alpha=\sqrt{6} . \end{aligned} \)
Somit erhalten wir \( M=\{\sqrt{6}\} \).
Text erkannt:
2. Vorgegeben seien die beiden Vektoren
\( \vec{x}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{y}_{\alpha}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \alpha \end{array}\right) \)
wobei \( \alpha \in \mathbb{R} \) ein reeller Parameter ist. Bestimmen Sie die Menge \( M \) aller \( \alpha \in \mathbb{R} \), für die die beiden Vektoren \( \vec{x} \) und \( \vec{y}_{\alpha} \) einen Winkel von \( 60^{\circ} \) einschließen.
Hinweis: Es gelten
\( \cos (0)=1, \quad \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \)
\( M=\{\sqrt{6}\} \)
