Rechtsseitiger Grenzwert berechnen e-funktion f(x) := x^5/(e^x - 1)

Question

Ich habe den rechtsseitigen Grenzwert \( x \searrow 0 \) für die Funktion ermittelt:

\( f(x)=\frac{x^{5}}{e^{x}-1} \)

Durch 4-mal L'hospital Anwendung bin ich zu 24/e^x gekommen. Also der Grenzwert ist 24.

Aus der Funktionskurve sehe ich, dass es nicht stimmt. Würde gerne wissen wo mein Fehler liegt?

~plot~ x^(5)/(e^x-1);[[-10|20|-2|25]] ~plot~

Answer 1

warum verwendest Du denn so oft den l'Hospital? Diesen darfst Du nur anwenden, wenn der Fall "0/0" oder "∞/∞" vorliegt. Das ist nach der ersten Anwendung nicht mehr der Fall (ohnehin bist Du da fertig).

$$\lim_{x\to0^+} \frac{x^5}{e^x-1} = \lim\frac{5x^4}{e^x} = 0$$

Es ist doch e⁰ = 1 ;).

Grüße