links- und rechtsseitiger Grenzwert

Question

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich für \( f(x)=\frac{6 x+30}{5 x-25} \), sowie den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert der Funktion für die vorhandene Polstelle \( p \).
(Hinweis: Für \( \infty \) schreiben Sie bitte unendlich, infinity oder infty)

Der Definitionsbereich ist \( \mathbb{R} \backslash\{p\} \) mit der Polstelle \( p=5 \)

Ich hätte da eine Frage, die ich nicht ganz begreife. Wenn ich beim linksseitigen Grenzwert für die x Werte kleiner als 5 einsetze, strebt der Wert laut richtiger Lösung gegen minus unendich. Aber die Werte werden doch immer größer. Beispiel x= 4 kommt ja -10,8 raus. x=3 kommt -4,8 raus und so weiter. Dann müsste es doch gegen plus unendlich streben?

Beim rechtsseitigen Grenzwert ist es umgekehrt der Fall. Bei Werten größer 5 wird die Funktion immer kleiner. Aber laut Musterlösung strebt die Funktion dann gegen plus unendlich. Kann mir das jemand erklären?

Grüße

Comments

Du solltest dich beim sukkzessiven Einsetzen von Testwerten der Polstelle nähern, aber dich nicht von ihr entfernen.

Answer 1

Beim Grenzwert gegen 5 läuft man auf die 5 zu. Wenn Du 4, 3, usw. betrachtest, läufst Du weg von der 5. Wo willst Du denn da hin? Zur 5 jedenfalls nicht. Wenn Du gegen \(-\infty\) läufst, landest Du bei \(-\infty\).

Wenn Du von links gegen 5 laufen willst, betrachte die Werte für 3, 4, 4.5, 4.7 und ähnliche.

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Ja das stimmt. Danke für die Erklärung. Eigentlich eine dumme Frage

Answer 2

h-Methode:

(6(x+5))/(5(x-5)) = 6/5* (5+-h+5)/(5+-h-5) = 6/5*(10+-h)/+-h = (12+-6/5*h)/+-h = 12/+-h + 6/5 = +-oo für h -> 0