Beweisen einer Ungleichung die Eulersche Zahl enthält: e^ (a+b)/2<1/2*e^a + 1/2*e^b

Question

Mein Problem wäre diese Aufgabe. Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen!

Beweisen Sie für reelle Zahlen a≠b die Ungleichung

e^(a+b)/2<1/2*e^a + 1/2*e^b.

Deuten Sie diese Ungleichung geometrisch.

Mein erster Schritt war es die Ungleichung mit 2/e^(a+b)/2 zu multiplizieren aber dann komm ich irgendwie nicht mehr weiter..

Danke schon im Voraus! Lg

Answer 1

e^(a+b)/2   <1/2*e^a + 1/2*e^b  

e^a/2 * e^b/2 < ( e^a + e^b  ) / 2

wurzel( e^a * e^b ) <  ( e^a + e^b  ) / 2  

Das ist die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel
für den Spezialfall der Zahlen e^a und e^b
Beweis
 ( e^a/2 - e^b/2  )^2  > 0 wenn a ungleich b, weil Quadrate dann immer positiv.
binom. Formel
 e^a -2*e^a/2 * e^b/2  + e^b > 0
 e^a   + e^b > 2*e^a/2 * e^b/2    | :2
1/2*e^a + 1/2*e^b   >  e^a/2 * e^b/2   = e^(a+b)/2  q.e.d.

Comments

Achja! Danke für die super Antwort!