Die eulersche Zahl: Ungleichung

Question

Aufgabe: Die eulersche Zahl.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen!

Man muss zeigen, dass für n >= 1, n ∈ ℕ gilt: n!(e – ∑(k=0, n)(1/k!)) < 1.

Für mich es ist nicht ganz klar, wie man darauf kommt. Früher habe ich schon bewiesen, dass ∑(k=n+1, ∞)(1/k!) < 1/n! und dass 0 < n!(e – ∑(k=0, n)(1/k!)).

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Es ist \(  e=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}   \)

Also gilt für n >= 1, n ∈ ℕ

    \(  e=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}  + \sum\limits_{n+1=0}^\infty \frac{1}{k!}  \)

<=>       \(  e -  \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}  = \sum\limits_{n+1=0}^\infty \frac{1}{k!}  \)

Und weil du die letzte Summe schon als ≤1/n! kennst folgt

   \(  e - \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}  \le \frac{1}{n!}  \)   | *n!

==>    \( n! \cdot ( e - \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} ) \le 1  \)  q.e.d.