Hey, seht ihr vielleicht, wie man auf diese Umformung kommt. Ich verstehe leider nicht so ganz, wieso man die Eulersche Formel so auseinander ziehen darf, um am Ende auf die gelb markierte Gleichung zu kommen. Das passt doch nicht oder?
Text erkannt:
Es ist
\( \begin{aligned} \left(\zeta_{k}\right)^{-1} & =\left(e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot k}\right)^{-1}=e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot(-k)} \\ & =\cos \left(-\frac{2 \pi}{n} \cdot k\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{2 \pi}{n} \cdot k\right) \end{aligned} \)
Da sowohl der Cosinus als auch der Sinus die Periode \( 2 \pi \) besitzen, schreibt sich weiter
\( \cos \left(-\frac{2 \pi k}{n}+\frac{2 \pi n}{n}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{2 \pi k}{n}+\frac{2 \pi n}{n}\right) \)
bzw.
\( \cos \left(\frac{2 \pi \cdot(n-k)}{n}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{2 \pi \cdot(n-k)}{n}\right) \)
und schließlich
\( e^{\frac{2 \pi \cdot(n-k)}{n}} \cdot i=e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot(n-k)} \)
Der Exponent der letzten Gleichung ist dabei stets positiv oder null, weil \( 1 \leq k \leq n \) ist. \( k \) ist höchstens so groß wie \( \mathrm{n} \) : Dann ist der Exponent null. Weil \( \mathrm{n} \) mindestens 1 ist, ist der Exponent mindestens null und damit nie negativ. Darum gilt \( 1<n-k<n \)
Ich würde mich sehr freuen:)
LG
