Aloha :)
Stell dir die Zahl als 2-dimensionalen Vektor vor. Die x-Koordinate ist der Realteil, die y-Koordinate ist der Imaginärteil.$$1-\sqrt3\,i=\binom{1}{-\sqrt3}$$Diesen Vektor kannst du jetzt in Polarkoordinaten darstellen, mit einer Entfernung \(r\) vom Ursprung und einem Öffnungswinkel \(\varphi\) gegenüber der Realteil-Achse:
$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{-\sqrt3}{1}\right)=-\frac{\pi}{3}$$Das bedeutet für unseren 2-dimensionalen Vektor:
$$1-\sqrt3i=\binom{1}{-\sqrt3}=\binom{2\cos(-\frac{\pi}{3})}{2\sin(-\frac{\pi}{3})}=2\cos(-\frac{\pi}{3})+i\,2\sin(-\frac{\pi}{3})$$$$\phantom{1-\sqrt3i}=2\left(\cos(-\frac{\pi}{3})+i\,\sin(-\frac{\pi}{3})\right)$$Mit der Eulerformel$$e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\,\sin\varphi$$gilt also:$$1-\sqrt3\,i=2\,e^{-i\pi/3}$$Damit ist nun:
$$(1-\sqrt3\,i)^{42}=(2e^{-i\pi/3})^{42}=2^{42}\,e^{-i\,\frac{42}{3}\pi}=2^{42}\,\underbrace{e^{-i\,14\pi}}_{=1}=2^{42}$$
