1.) Wie berechne ich allgemein den Grenzwert gegen +- unendlich von einer Funktion?? GWS , h-Methode oder höchste Potenz ausklammern?
Die h-Methode ist für die praktische Rechnung eher nicht geeignet. Er hilft, um die ersten Grenzwerte auszurechnen, sobald es aber komplizierter wird, hilft die Methode nicht mehr weiter.
Im Normalfall rechnet man mit den Grenzwertsätzen - dazu gehört auch das Ausklammern der höchsten Potenz. Das sind also die Methoden, die man unbedingt beherrschen muss.
2.) Muss ich bei den GWS bei der Division etwas mit dem Definitionsbereich beachten?
Ja, die (klassischen) Grenzwertsätze gelten nur, wenn alle vorkommenden Terme definiert sind, für die Division
lim (f/g) = (lim f)/(lim g)
muss insbesondere lim g ≠ 0 gelten.
Es gibt allerdings sogenannte erweiterte Grenzwertsätze, die einige Fälle von uneigentlichen Grenzwerten (also Unendlich) behandeln.
Man notiert diese Sätze häufig formal in der folgenden Form:
i) ∞ + ∞ = ∞
ii) ∞*∞ = ∞
iii) c/∞ = 0, für c < ∞
iv) c/0 = ∞, für 0 < c < ∞
v) c/0 = -∞, für -∞< c < 0
Unbestimmte Ausdrücke der Formen ∞/∞, 0/0, 0*∞, 1∞ oder ∞-∞ bedürfen allerdings einer genaueren Untersuchung (Stichwort l'Hospital)
3.) Ich weiß, dass bei rationalen Funktionen der Grenzwert dem Funktionswert entspricht. Das gilt jedoch nicht bei gebrochenrationalen Funktionen oder?
Das ist richtig. Gebrochen rationale Funktionen können Definitionslücken besitzen, weil eine Teilung durch 0 vorliegt. Ein Beispiel:
(x²-2x+1)/(x-1)
ist für x=1 nicht definiert, weil der Nenner dann 0 ergibt. Bestimmt man den Grenzwert, erhält man aber den Grenzwert 0.
