Logistisches Wachstum: Gerücht in einer Stadt mit 3100 Menschen
In einer Stadt mit 3100 Menschen wird ein Gerücht in Umlauf gebracht. Zu Beginn bringen dieses Gerücht 10 Menschen in Umlauf. Nach einem Tag wissen es bereits 19 Einwohner. Bei einer Ausbreitung des Gerüchtes wird einem logistischen Wachstum ausgegangen.
a) Ermitteln sie die Funktiosgleichung, die diesen Wachstumsvorgang beschreibt. Runden Sie den Wert des Parameters k auf vier Stellen nach dem Komma.
f(x) = a·s/(a + (s - a)·e^{- k·x}) [a: Anfangsbestand; s: obere Schranke]
f(x) = 10·3100/(10 + (3100 - 10)·e^{- k·x})
f(x) = 31000/(10 + 3090·e^{- k·x})
f(1) = 31000/(10 + 3090·e^{- k·1}) = 19 --> k = LN(1957/1027) = 0.6448
f(x) = 31000/(10 + 3090·e^{- 0.6448·x})
b) Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen mehr als 50% des Dorfes darüber Bescheid weiß.
f(x) = 31000/(10 + 3090·e^{- 0.6448·x}) = 3100/2 --> x = 8.892
