Erklärung eines Rechenschritts - komplexe Zahlen

Question

Berechnung:

\( (z-3 j)^{6}+64 = 0, \quad \tilde{z}=z-3 j \)

\( \tilde{z}^{6}=-64=64 e^{+j(\pi+2 k \pi)} \)

\( \Rightarrow \tilde{z}_{k}=2 e^{j(\pi / 6+k \pi / 3)} \quad k=0, \ldots, 5 \)

\( \Rightarrow z_{k}=3_{j}+\tilde{z}_{k}=3 j+2 e^{j(\pi / 6+k \pi / 3)} \)

\( =2 \cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\right)+j\left(3+2 \sin \left(\frac{\pi}{0}+\frac{b \pi}{3}\right)\right) \)

\( k=0, \ldots, 5 \)

Ansatz/Problem:

Ich kann alles fast vollständig nachvollziehen, jedoch verstehe ich den letzten Schritt nicht. Was wird da gemacht?

Also nicht da wo steht "k = 0.....5", sondern eine Zeile höher. Was ich auch nicht verstehe warum da 3i in verbindung mit der exp Schreibweise steht. Das kenne ich sonst immer nur getrennt. Also entweder in e-Schreibweise oder in kartesischer Schreibweise.

Answer 1

Das ist auf jeden Fall eine sehr vernünftige Lösungsweise und dieser Weg ist zu empfehlen, sobald du die Theorie begriffen hast.

Die letzte Umwandlung beruht auf:

e^{iφ} = cos(φ) + i*sin(φ)

Weiter oben musst du wissen, dass

-1 = e^{iπ} = e^{iπ + 2πi} = ....= e^{iπ + i*2kπ}

Ich nenne mal die Substitution zTILDE =u

u = z- 3j        <==> u + 3j = z    , brauchst du als Rücksubstitution.

Comments

okay .danke.

das mit -1 bedeutet praktisch  -1 auf der x-achse und  deshalb Pi. weil Pi ja 180 grad sind. und plus 2 Pi weil es eine ganze Kreisbewegung  wäre und man somit auf der selben stelle landet?

Ist das richtig?

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"das mit -1 bedeutet praktisch  -1 auf der x-achse und  deshalb Pi. weil Pi ja 180 grad sind. und plus 2 Pi weil es eine ganze Kreisbewegung  wäre und man somit auf der selben stelle landet?"

Ja. So ist das.