Kann man beweisen, dass 5^n+2^n ab n>58 immer mindestens 1 Ziffer 0 beinhaltet?

Question

Die Zahlenfolge  http://oeis.org/A152493

hat bei n=58 das letzte bekannte Ergebnis ohne eine Ziffer 0.

Habe selbst bis n=100000 nachgerechnet ->  nur Ergebnisse gefunden, wo bei 5^n+2^n  immer mindestens 1 Ziffer 0 enthalten war.

(das sind Zahlen mit mehreren 10000 Ziffern!!)

Es sieht auch so aus, als wenn es immer mehr Nullen werden...

Aber kann man es beweisen?

Kann man z.B. sagen: da 2^n immer weniger den hinteren Teil abdecken kann und vorn immer mehr Nullen werden -> muss jegliche Multiplikation mit 5 auch mindestens 1 weitere 0 produzieren?

Oder bringt eine Aufteilung in Teilbereiche was?   Wie z.B.

"Sobald in den vorderen 50% mindestens einmal die Ziffernfolge "000" vorkommt, wird es bei Multiplikation mit 5 nie wieder ein Glied geben, wo es keine Ziffer 0 mehr gibt"??

Oder sind ähnliche Zahlenfolgen bekannt, wo man eindeutige Aussagen zu Ziffern (natürlich ohne die letzten, da es dort Modulo gibt) tätigen kann?

Comments

Bei Untersuchungen n=10000 ... 1000000 (1 Mio.) zeigt sich klar eine Gleichverteilung der Ziffern -> siehe Bild vom Iterationsrechner 
Oder mit anderen Worten: Anzahl der Ziffer "0" im Ergebnis etwa (Ziffernanzahl)/10   

Leider kenne ich keine Beweis-Methode um diese recht gute Gleichverteilung für alle n>100000 zu zeigen. 

Natürlich reicht 1 einziger Gegenbeweis, also ein Ergebnis, wo keine einzige Ziffer "0" enthalten ist. Wer eine schöne Begründung hat, auf welche Zahl n (> 100000 und kleiner 11 Mio.) ich testen könnte

 -> sollte sich auch ruhig melden.