Matrizengleichung - Richtig gerechnet?

Question

X soll aus folgender Matrizengleichung errechnet werden:
A*B*X*C*D = B*A

Zu beachten:
C*D, A, B sind Inventierbar,
C ist eine m*n Matrize
D ist eine n*m Matrtze
A,B,X sind alle nxn Matrizen

Ich habe wie folgt gerechnet doch komme am Ende nicht weiter:
$$A*B*X*C*D\quad =\quad B*A\quad |\quad *{ (C*D) }^{ -1 }\\ A*B*X*E\quad =\quad B*A*{ (C*D) }^{ -1 }\quad |\quad { A }^{ -1 }\quad von\quad rechts\\ E*B*X*E\quad =\quad B*E*{ (C*D) }^{ -1 }\quad |\quad { B }^{ -1 }\quad von\quad rechts\\ 2E*X*E\quad =\quad 2E*{ (C*D) }^{ -1 }$$

Was muss ich nun mit den Einheitsvektoren E machen? Kann ich die einfach zusammenrechnen also
3E* X = 2E*(C*D)^-1
Ich hoffe das mein Rechenweg insgesamt in Ordnung ist.

Answer 1

1. E ist nicht der Einheitsvektor sondern die Einheitsmatrix. Bei der Multiplikation spielt sie keine Rolle, da sie wie die 1 wirkt. \( E \cdot X = X \)

2. Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. \( A \cdot B \neq B \cdot A \) im allgemeinen.

Insgesamt ist deine Umformung ab der dritten Zeile falsch.

$$ A\cdot B \cdot X = B \cdot A \cdot (C\cdot D)^{-1} $$

$$ X = (A\cdot B)^{-1} \cdot B \cdot A \cdot (C \cdot D)^{-1}$$

$$ X = B^{-1} \cdot A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot (C \cdot D)^{-1} $$

Gruß

Comments

$$X = B^{-1} \cdot A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot (C \cdot D)^{-1}$$
Du scheinst hier (A*B)^-1 auszuklammern.
Ist es als Regel so, das dann die beiden in der Klammer dann die Position tauschen?

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Du kannst natürlich auch einzeln von links multiplizieren, damit lässt sich auch folgern, dass für 2 invertierbare Matrizen gilt  \( (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} \)

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Ich habe es mir in meinen Notizen geschrieben :) Danke vielmals ^^