Matrizengleichung für die Inverse aufstellen

Question

Für eine inventierbare Matrix A gilt:
A² - 3A + 2I = 0
Bestimmen sie daraus eine Gleichung für eine Inverse A^-1 der A Matrix.

Meine Berechnung:
$${ A }^{ 2 }-3A+2I=0\quad |\quad -2I\\ { A }^{ 2 }-3A\quad =\quad -2I\\ A(A-3)\quad =\quad -2I\quad |\quad { *(A-3) }^{ -1 }\\ A\quad =\quad -2I{ *(A-3) }^{ -1 }\quad |\quad *\quad { ({ A }^{ -1 }) }^{ 2 }\\ A*{ A }^{ -1 }*{ A }^{ -1 }\quad =\quad -2I{ *(A-3) }^{ -1 }*{ A }^{ -1 }*{ A }^{ -1 }\\ { A }^{ -1 }\quad =\quad -2I{ *(A-3) }^{ -1 }*{ ({ A }^{ -1 }) }^{ 2 }$$

Ich würde gerne wissen ob der Rechenweg so in Ordnung ist. Ich bin mir ziemlich unsicher mit dem Thema Matrizengleichungen und hoffe das ich die Rechenregeln so langsam drauf habe.

Comments

Hi, Du setzt die Invertierbarkeit von \(\left(A-3\right)\) voraus. Das gilt aber i. A. nicht!

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Ich habe mal umgewerftelt und darauf geachtet, das nur A inventiert werden kann:
$${ A }^{ 2 }-3A+2I=0\quad |\quad -2I\\ { A }^{ 2 }-3A\quad =\quad -2I\\ A(A-3)\quad =\quad -2I\quad |\quad *{ A }^{ -1 }\quad von\quad links\\ A\quad -\quad 3\quad =\quad { A }^{ -1 }\quad *\quad (-2I)\quad |\quad +3\\ A\quad =\quad { A }^{ -1 }\quad *\quad (-2I)\quad +\quad 3\quad |\quad *{ { (A }^{ -1 }) }^{ 2 }\\ { A }^{ -1 }\quad =\quad { A }^{ -1 }\quad *\quad (-2I)\quad +\quad 3*{ { (A }^{ -1 }) }^{ 2 }$$

Die Änderung zur Angabe oben in der Frage beginnt ab der 3. Zeile.

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Hi, mindestens der letzte Schritt stimmt so nicht. Wie andernorts schon erwähnt, dürfte es am einfachsten sein, die ursprüngliche Gleichung mit \(\left(A^{-1}\right)^2\) zu multiplizieren. Du hast dann eine Gleichung in \(A^{-1}\), deren linke Seite faktorisiert werden kann, um eine darstellung von \(A^{-1}\) zu bekommen.

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Noch eine kleine Verständnisfrage:
Bei der multiplikation muss ich dann mit jedem Element machen?
BsP:
$${ A }^{ 2 }-3A+2I\quad =\quad 0\quad |*{ { (A }^{ { -1 } }) }\\ A*A*{ A }^{ { -1 } }-3A*{ A }^{ { -1 } }+2I*{ A }^{ { -1 } }=0$$

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Ja, natürlich!

Answer 1

vielleicht besser so:

A^2 - 3 A + 2 I = 0    | * A^{-1}
A    -3 I     + 2 A^{-1}= 0
2 A^{-1}= 3* I   -   A 
  

A^{-1} =  (3/2) * I  -  (1/2)*A

Denn die Inverse von A - 3*I existiert i.allg. nicht, wie das

Beispiel:    3*I ist invertierbar aber 0 nicht

zeigt.

Comments

Ich kann diesen Schritt:
A    -3 I     + 2 A^-1= 0 
Nicht ganz nachvollziehen.

Wen ich mit A^-1 multipliziere komme ich auf folgendes:
$${ A }^{ 2 }\quad -\quad 3A\quad +\quad 2I\quad =\quad 0\quad |\quad *{ A }^{ -1 }\\ A-\quad 3A\quad +\quad 2I\quad =\quad 0$$

Wieso tauschen denn das I und das A? 

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Du musst ja alle drei Summanden mit * A^{-1} multiplizieren:

A^2 * A^{-1} = A

3*A * A^{-1} =3* I

2*i  * A^{-1} = 2*A^{-1}

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Du nimmst an, das I die Einheitsmatrizen sind oder?
Laut meiner Liste ist es aber ein E. Ich denke das I darf man nicht als 1 betrachten.

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na gut, dann ist es eben

2* I  * A^-1

und bei

3*A * A^-1 =3* E

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OK ich habs dann jetzt mal raus :) gleich mal ein paar weitere Aufgaben dieses Typs testen.
Danke vielmals ^^.

Answer 2

Hi,
multipliziere doch die Gleichung \( A^2-3A+2I = 0 \) doch mit \( \left( A^{-1} \right)^2 \), dann ergibt sich
$$ I -3A^{-1}+2\left(A^{-1}\right)^2 = 0 $$

Comments

Wäre das dann die Antwort?
Oder sollte nicht nach A^-1 umgstellt werden?