Zweite Ableitung: Zeigen Sie, dass für alle x aus R gilt: f''(x) = lim (f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/(h²) mit h→0.

Question

ich bräuchte eine Ansatz zu folgender Aufgabe, da ich nicht weiß, wie man das zeigen soll:

Die Funktion f:ℝ→ℝ sei zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass für alle x∈ℝ gilt:

f''(x) = lim (f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/(h²) mit h→0.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Alex

Answer 1

Es ist f ' ' (x) = lim  ( f ' (x+h) - f ' (x) ) / h    mit h→0.

und f ' ( x ) =   lim  ( f (x+h) - f  (x) ) / h    mit h→0.  

und f ' ( x+h ) =   lim  ( f (x+2h) - f  (x+h) ) / h    mit h→0.    oder lim  ( f (x) - f  (x-h) ) / h    mit h→0. 

das zweite und dritte  beim ersten eingesetzt:

  ( (       ( f (x) - f  (x-h) ) /  h            ) -         ( ( f (x+h) - f  (x) ) / h    ) )       / h

  ( (       ( f (x) - f  (x-h) )            ) -         ( ( f (x+h) - f  (x) )    ) )       / h^2

= (f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/(h²)

Comments

Super, vielen Dank. Eine Frage noch: Wieso kann man "lim  ( f (x+2h) - f  (x+h) ) / h    mit h→0"   mit  "lim  ( f (x) - f  (x-h) ) / h mit h→0" ersetzen?

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es ist doch immer so, dass man (f(a+h) - f(a) ) / h   oder (f(a-h) - f(a) ) / -h   nehmen kann, weil

man von rechts oder von links an die betrachtete Stelle gehen kann. Ich seh gerade, dass man dann

wohl -h im Nenner hat ??. Musst du vielleicht doch noch was drüber nachdenken.

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Ihr könnt Grenzwerte allerdings nicht so einfach ineinander einsetzen. Mit derselben Argumentation ließe sich folgendes verzapfen:

Es ist \(1=\lim_{n\to\infty}(1+0)^n\) und \(0=\lim_{n\to\infty}\frac1n\), also \[1=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\,.\]

Und was soll "f ' ( x+h ) =   lim  ( f (x+2h) - f  (x+h) ) / h    mit h→0." überhaupt heißen?

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Da hast du recht, hätte so schön gepasst.

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Hätte jemand noch einen anderen Ansatz?