Schreiben sie die Permutation als ein Produkt von Transpositionen.

Question

Sei n >= 1 . Schreiben sie die Permutation

           1   2  3  ....    n-1   n         

σ =                                                              ∈  S_n

2   3  4  ....      n    1

als ein Produkt von Transpositionen . Deduzieren sie draus

sgn(σ) = (-1)ⁿ⁺¹ .

Answer 1

$$\sigma= (1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ \dots \ \ n-1 \ \ n)=(1 \ \ n) (1 \ \ n-1 ) \dots (1 \ \ 4 ) (1 \ \ 3) ( 1\ \ 2)$$

$$sgn(\sigma)=(-1)^k, k=\text{ Anzahl der Transpositionen }$$ 

Also $$sgn(\sigma)=(-1)^{n+1}$$

Comments

könntest du bitte vielleicht bisschen mehr erklären ? ich verstehe leider deine lösung nicht

Answer 2

Hi, hier ein Beispiel:
$$ \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  2 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}  1 & 4 \\ 4 & 1\end{pmatrix} $$
Dabei muss die rechte Seite von rechts nach links ausgewertet werden. Schau mal nach, ob das bei Euch auch so ist. Es gilt nun:
$$ \text{sgn}\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix} = \text{sgn}\begin{pmatrix}  2 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \text{sgn}\begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\cdot \text{sgn}\begin{pmatrix}  1 & 4 \\ 4 & 1\end{pmatrix} $$
Nun ist aber das Signum einer Transposition immer \(-1\) und somit das Signum des Beispiels leicht zu bestimmen. In der Aufgabe soll dieser Schiebe-Eins-Weiter-Permutation für beliebige \(n\) untersucht werden.

Comments

Danke schön für die Erklärung ! leider verstehe ich trotzdem nicht wirklich wie ich die Aufgabe genau löse , die Antwort von maiem ist nicht ganz verständlich für mich .