Pi als produkt von Transpositionen darstellen für s4

Question

Aufgabe:

Permutation von

\( \pi_{1}:=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right) \in S_{4} \)

Problem/Ansatz:

Mein Kumpel und ich sind uns nicht einig.

Ich habe \pi_{1} als Produkt von Transpositionen  \pi_{1} = (1234) raus.

Er hat: \pi_{1} = (1,4) (1,2) (2,3)

Was stimmt nun

Answer 1

Das zweite stimmt.

\((1234)\) ist zwar der Zyklus, der die Permutation \(\pi_1\) beschreibt, ist aber nicht als Produkt von Transpositionen geschrieben.

\((1,4) (1,2) (2,3)\) ist ein Produkt von Transpositionen und beschreibt \(\pi_1\), denn

\((1,4) (1,2) (2,3)(1) = (1,4) (1,2)(1) = (1,4)(2)  = 2\)

\((1,4) (1,2) (2,3)(2) = (1,4) (1,2) (3) = 3\)

\((1,4) (1,2) (2,3)(3) = (1,4) (1,2) (2) = (1,4)(1) =  4\)

\((1,4) (1,2) (2,3)(4) = (1,4)(4) = 1\)

Answer 2

\pi1 = (1234)

ist zwar eine Darstellung durch einen Zykel,
aber nicht als Produkt von Transpositionen (2-er Zykeln)
geschrieben.
Dein Kumpel hat Recht.