Vollständige Induktion (Korrekt berechnet?):

Question

folgende Aufgabe:

1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6

A(n₁) ist korrekt, daher die Annahme: A(n+1).

Da 1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6 folgt:

Linke Seite                                   Rechte Seite
((n(n+1)(2n+1)) / 6) + (n + 1) = ((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)) / 6

Am Ende erhalte ich durch umformen:

Linke Seite                 Rechte Seite
2n³ + 3n² + 7n + 6 = 2n³ + 9n² + 10n + 6

Die Seiten sind total ungleich. Ich habe doch alles korrekt beachtet, oder?
Habe ich jetzt etwas bewiesen, wenn ja, woran erkenne ich es? Denn
schließlich sind beide Seiten total unterschiedlich.

Comments

Du solltest doch eine weitere Quadratzahl addieren:((n(n+1)(2n+1)) / 6) + (n + 1)^2 = ((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)) / 6 
Hast du das getan?

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Ahhh verdammt! Ganz außer acht gelassen

Vielen Dank Lu :)

Answer 1

Du solltest doch eine weitere Quadratzahl addieren:  ((n(n+1)(2n+1)) / 6) + (n + 1)² = ((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)) / 6  
Offenbar war das der Fehler. 

Somit kann mein Kommentar oben ja die Antwort sein.

Answer 2

Du hast zwei Fehler gemacht:
1. Der Ansatz muss nicht ((n(n+1)(2n+1)) / 6) + (n + 1)
sondern links
((n(n+1)(2n+1)) / 6) + (n + 1)^2  heißen .
und auf der rechten Seite bekomme ich
2n^3 + 9n^2 + 13n + 6 raus, dann stimmt es.

Answer 3

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Comments

Hallo Mathecoach :)

Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Leider kann ich dir keinen Pluspunkt vergeben :/

Meine Lösung: 1/3 n³ + 3/2 n² + 13/6 n + 1 (Auf beiden Seiten richtig!)

Ich will dich fragen, wie du es erkennst, dass man etwas ausklammern kann? Ich habe
da noch meine Schwierigkeiten :( Kennst du eventuell eine Seite auf der man das üben kann?

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Ich habe in meiner Herleitung nichts ausgeklammert. Es stand das meiste ja faktorisiert da. Ich habe an der richtigen Stelle nur gesehen das alle Terme den gleichen Faktor enthalten und durch (n + 1) dann geteilt.

Also multipliziere nicht zu früh aus. Sonst erkennt man sowas nicht.