Vollständige Induktion: 1²+2²+3²+ ...+ n²= [n(n+1)(2n+1)] / 6

Question

Beweise per vollständiger Induktion : 1²+2²+3²+ ...+ n²= (Als Bruch geschrieben) [n(n+1)(2n+1)] / 6

Answer 1

Zu zeigen:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } =\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 }$$

Induktionsanker:

Für n=1 gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ k^{ 2 } } =1^{ 2 }=1=\frac { 1(1+1)(2*1+1) }{ 6 } =\frac { 1*2*3 }{ 6 } =1$$

Induktionsvoraussetzung:

Gelte für festes n:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } =\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 }$$

Induktionsbehauptung:

Dann gilt fü n + 1:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k^{ 2 } } =\frac { (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) }{ 6 } =\frac { (n+1)(n+2)(2n+3) }{ 6 }$$

Beweis:

$$\frac { (n+1)(n+2)(2n+3) }{ 6 }$$$$=\frac { (n+1)(n+2)(2n+1) }{ 6 } +\frac { 2(n+1)(n+2) }{ 6 }$$$$=\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +\frac { 2(n+1)(2n+1) }{ 6 } +\frac { 2(n+1)(n+2) }{ 6 }$$Induktionsvoraussetzung:$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } +\frac { 2(n+1)(2n+1+n+2) }{ 6 }$$$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } +\frac { 2(n+1)(3n+3) }{ 6 }$$$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } +\frac { 2*3*(n+1)(n+1) }{ 6 }$$$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 2 } } +(n+1)^{ 2 }$$$$=\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k^{ 2 } }$$