Hier hast du mal die Lösung zur Aufgabe 1:
Das Volumen eines Kegel lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$$ { V }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot G \cdot h=\frac { 1 }{ 3 } \cdot \pi \cdot { r }^{ 2 } \cdot h $$
Hierbei ist \( h \) die Höhe des Kegels und \( r \) der Radius des Kegels. Also musst du die Werte einfach in die Formel einsetzen. Die Höhe hast du gegeben, den Radius allerdings nicht. Da du aber die Mantellinie gegeben hast, kannst du, indem du folgende Formel umstellst, den Radius leicht berechnen:
$$ { m }^{ 2 }={ r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } $$
Du musst dir folgendes vorstellen, um die Formel zu verstehen:
\( m \) ist deine Mantellinie, \( r \) ist dein Radius und \( h \) ist deine Höhe. Hier wendet man also den Satz des Pythagoras an.
Nun musst du die Formel nur noch nach \( r \) umstellen und die Länge der Mantellinie und die Höhe einsetzen:
$$ { m }^{ 2 }={ r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 }\quad \quad \quad \\ { m }^{ 2 }-{ h }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\\ r=\sqrt { { m }^{ 2 }-{ h }^{ 2 } } \\ r=\sqrt { 5,66^{ 2 }-{ 5,6 }^{ 2 } } \\ r=\sqrt { 0,6756 } \\ r\approx 0,82cm $$
Nun hast du also den Radius und kannst mit der Formel von oben das Volumen berechnen indem du die Werte einsetzt:
$$ { V }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot \pi \cdot { r }^{ 2 }\cdot h=\frac { 1 }{ 3 } \cdot \pi \cdot { 0,82 }^{ 2 }\cdot 5,6\approx 3,94{ cm }^{ 2 } $$
Mit folgender Formel berechnest du die Mantelfläche. Dazu einfach wieder deine Werte einsetzen:
$$ { M=\pi \cdot r\cdot m }={ \pi \cdot 0,82\cdot 5,66\approx 14,58 }{ cm }^{ 2 } $$
