Aufgabe:
Gegeben sei die Abbildung
\( I: B([0,1]) \rightarrow \mathbb{R}: f \mapsto \frac{1}{2}\left(\int \limits_{0 *}^{1} f(x) d x+\int \limits_{0}^{1 *} f(x) d x\right) \)
Beweisen Sie:
a) Für alle \( f \in R([0,1]) \) gilt \( I(f)=\int \limits_{0}^{1} f(x) d x \).
b) Für alle \( f, g \in B([0,1]) \) mit \( f \leq g \) gilt \( I(f) \leq I(g) \).
c) Für alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) und alle \( f \in B([0,1]) \) gilt \( I(\lambda f)=\lambda I(f) \).
d) Es existieren \( f, g \in B([0,1]) \) mit \( I(f+g)<I(f)+I(g) \).
