Den Grenzwert einer Rekursionsformel bestimmen

Question

Die Rekursionsformel lauter wie folgt:

$${ a }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ a }_{ n }+\frac { 2 }{ { a }_{ n } } )$$
Wichtig:
n > 0 und a1 = 1.

Zuerst sollte bei a) a4 ermittelt werden. Dies ist 91/136.
Doch nun bei b) soll angenommen werden das für a_n n ∈ ℕ ein Grenzwert besteht.

Meine Überlegung:
es kann, dadurch das ein Bruch vorhanden ist, nur die 0 sein. Das sagt einem auch die Grenze von n > 0.
Doch wie kann ich das nun Beweisen?

Answer 1

dein \(a_4\) ist falsch.

der angenommene Grenzwert \(a\) muss die Gleichung

$$ a = \frac{1}{2}(a+\frac{2}{a}) $$

erfüllen. Er ist definitiv nicht \(0\). Deine Argumentation macht dahingehend leider keinen Sinn.

Gruß

Comments

Ja du hast recht. Ich habe a4 nochmals berechnet und komme nun auf was ganz anderes.

$${ a }_{ n }=\quad 1\\ { a }_{ n+1 }\quad =\quad 1/2(an+2/an)\\ a1\quad =\quad 1\\ a2\quad =\quad 1/2(1+2/1)\quad =\quad 3/2\\ a3\quad =\quad 1/2(3/2\quad +\quad 4/3)\quad =\quad 17/12\\ a4\quad =\quad 1/2(17/12\quad +\quad 24/17)\quad =\quad 577/408$$

Bei b) habe ich nun folgendes: $${ a }_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } \left( n\quad +\quad \frac { 2 }{ n }  \right) \\ =\quad \frac { n }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2n } \\ =\quad \frac { n*2n\quad +\quad 4 }{ 2*2n } \\ =\quad n+2$$

Also ist der Grenzwert 2? Oder muss ich dies nun noch gegen 0 laufen lassen? Doch wie tu ich das ohne Bruch?

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Schau dir nochmal meine Gleichung an und bestimme das a das die Gleichung löst. Das was du da geschrieben hast ist nicht zielführend und macht auch keinen Sinn. Du kannst nicht einfach \(a_n\) durch \(n\) ersetzen.

Zur Kontrolle: Der Grenzwert ist \(\sqrt{2}\).