Integral berechnen mittels Riemannschen Summen x^3

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{a} x^{3} d x \) für \( a>0 \) mittels Riemannschen Summen.

Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \) gilt.

Answer 1

Hi,

zerteile das Intervall \( [0,a] \) durch die Punkte \(x_k = k\frac{a}{n} \) mit \( k \in \{0,1,...,n\} \).

Die Intervalllängen zwischen den Punkten sind immer gleich: \( \Delta x_k:= x_{k} - x_{k-1} = \frac{a}{n} \).

Dann kannst du das Integral als Grenzwert der Riemann-Summe berechnen durch:

$$ \int \limits_0^a x^3dx = \lim \limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k^3 \Delta x_k $$

Gruß

Answer 2

Teile das Intervall von 0 bis a in n Teile, dann hast du jeweils als rechten Punkt des i-ten Teilintervalls
i*(a/n) mit i aus 1..n. Da f monoton steigend ist, ist das Max. von f an jeweils diesen rechten Randpunkten
und damit hast du für die Obersumme
f(1*(a/n))*(a/n) + f(2*(a/n))*(a/n)  + f(3*(a/n))*(a/n)  + f(4*(a/n))*(a/n) + .....+  + f(n*(a/n))*(a/n)
oder mit dem Summenzeichen
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ f(i*(a/n))*(a/n) } $$ =
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 }*{ (a/n) }^{ 3 }*(a/n) } $$
und hier kannst du die von i unabhängigen Faktoren rausziehen und hast
$${ (a/n) }^{ 3 }*(a/n)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } $$
$${ { a }^{ 4 }/n }^{ 4 }*\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } $$
und jetzt nimmst du die gegebene Formel für die Summe
$$\frac { { a }^{ 4 } }{ { n }^{ 4 } } *\frac { { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 } }{ 4 } $$
und bekommst als Grenzwert für n gegen unendlich heraus   a^4/4.

Ähnlich mit der Untersumme.