Aufgabe:
Bestimmen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob sie für alle nichtleeren Mengen \( M \) und Abbildungen \( f: M \rightarrow M \) wahr ist und notieren Sie, wenn man dafür das Auswahlaxiom (AC) benötigt:
a) Falls \( f: M \rightarrow M \) injektiv ist, dann gibt es eine surjektive Abbildung \( g: M \rightarrow M \) mit \( g \circ f=\mathrm{id}_{M} \).
b) Falls \( f: M \rightarrow M \) injektiv ist, dann gibt es eine surjektive Abbildung \( g: M \rightarrow M \) mit \( f \circ g=\mathrm{id}_{M} \).
c) Falls \( f: M \rightarrow M \) surjektiv, aber nicht injektiv ist, dann ist \( M \) unendlich.
d) Falls \( f: M \rightarrow M \) surjektiv ist, dann gibt es eine injektive Abbildung \( g: M \rightarrow M \) mit \( f \circ g=\mathrm{id}_{M} \).
e) \( f: M \rightarrow M \) ist genau dann injektiv, wenn \( f \circ f \) injektiv ist.
Ansatz/Problem:
Für endliche Mengen versteh ich es ja, aber bei unendlichen bin ich überfragt. Da die Abbildung von M auf M geht, sind dann alle abbildungen bijektiv?
