Prüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

Question

(Es muss nicht gezeigt werden, dass es tatsächlich Abbildungen sind.)

a) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10
b) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10
c) f:ℤxℤ---->{Wahr, Falsch}, (a.b)---->f((a,b)):=(a<b)
d)f:ℕ---->ℝ, n---->f(n):=2ⁿ
e) f:ℕxℕ---->ℕ, (m,n)---->f((m,n)):=m+n

Comments

EDIT: Zwei mal dasselbe? 

a) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10 
b) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10  

Beide sind injektiv aber nicht surjektiv und somit nicht bijektiv. 

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Ups hab mich vertippt, bei b) ist das ℤ anstelle von ℕ.

Danke.

Answer 1

a) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10 

          Seien n,m aus ℕ mit f(n) = f(m)
               ==>        n+10 = m+10
              ==>          n=m  , also Injektiv.

Sei y aus ℤ. Gibt es n aus ℕ mit f(n) = y 

etwa für y=2 nicht;  denn f(n) = 2 hieße
                                        n+10 = 2
                                              n = -8  ∉ ℕ
      
b) f: ℕ---->ℤ, n---->f(n):=n+10     (s.o.)

c) f:ℤxℤ---->{Wahr, Falsch}, (a.b)---->f((a,b)):=(a<b) 

                    f(2,3) = f(3,4) (beide wahr) Aber :  (2,3) ≠ (3,4)

                       also nicht Injektiv.

                 surjektiv ?  klar, es gibt Paare mit a<b und welche mit a>b.
                 

d)f:ℕ---->ℝ, n---->f(n):=2ⁿ

                   Injektiv ja:    2ⁿ = 2^m ==>  n=m

                     surjektiv nicht: Es gibt z.B.  keine nat. Zahl n mit 2ⁿ = 7

e) f:ℕxℕ---->ℕ, (m,n)---->f((m,n)):=m+n    f(2,5) = f(5,2) also nicht Injektiv

aber surjektiv:  Für jedes n aus ℕ gilt  f( 0,n) = n .