Sind folgende Funktionen injektiv und/oder surjektiv, bijektiv? Begründen Sie ihre Antwort

Question

Aufgabe:

1. f : N → Z mit f(x) = (−1)^x· x
2. g : Z → N mit g(x) = |x|
3. g ◦ f : N → N mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).
4. f ◦ g : Z → Z mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).

Problem/Ansatz: wie mache ich das?

Answer 1

f : N → Z mit f(x) = (−1)^x· x

ist Injektiv; denn  f(x) = f(y)

==>       (-1)^x * x = (-1)^y * y

==>           x=y oder x=-y

Wegen x,y ∈ N also nur   x=y möglich.

Nicht surjektiv, da z.B. -2 kein Funktionwert ist.
2. g : Z → N mit g(x) = |x|    nicht Injektiv, da g(2)=g(-2)

aber surjektiv; denn für alle y∈N gilt  g(y)=y.

3. g ◦ f : N → N mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).

Für alle x∈N gilt  gof(x) = g( f(x)) = g( (-1)^x * x ) = |(-1)^x * x |=x

also  g ◦ f  = id_N also bijektiv
4. f ◦ g : Z → Z mit f, g wie definiert in Teil 1) und 2).

fog(x) = f (  |x| ) = (-1)^(|x|) * |x| .

Injektiv:   wie oben führt das auf x=y  oder  -x=y

Das zweite kann nur auftreten, wenn von  x und y

einer gerade und einer ungerade ist, aber dann können sie

nicht den gleichen Betrag haben. Also injektiv.

nicht surjektiv, da z.B. -2 kein Funktionswert ist.