Ist die folgende Funktion injektiv, surjektiv, oder bijektiv?

Question

Aufgabe:

Ist die folgende Funktion injektiv, surjektiv, oder bijektiv? Erkläre.

f : ℝ² → ℝ : (x,y) ↦ f(x,y) = x+y-1

Problem/Ansatz:

Ich habe ein wenig Schwierigkeiten mit ℝ²

Nicht injektiv da: Wenn ∀ (x₁,y₁), (x₂,y₂) ∈ ℝ² : f((x₁,y₁)) = f((x₂,y₂) ⇒ x₁ = x₂

x₁ + y₁ - 1 = x₂ + y₂ - 1

und hier x₁ ≠ x₂

Ist mein Vorgehen hier korrekt?

Die Funktion ist surjektiv weil es keinerlei Einschränkungen gibt: ∀ y₁, y₂ ∈ ℝ ∃ x₁, x₂ ∈ ℝ: f(x) = y

Wobei mir kein Beweis hier klar wird. Kann man das irgendwie beweisen?  Sind y₁, y₂ sowie x₁, x₂ ∈ ℝ oder ℝ² ?

Nicht bijektiv, weil dafür muss die Funktion injektiv und surjektiv sein.

Danke für eure Hilfe!

Answer 1

sowas wie "nicht injektiv" würde ich

eher durch ein konkretes Gegenbeispiel zeigen, etwa

f(0;0) = f(-1;1) .

surjektiv etwa in der Art: Sei z∈ℝ.

Dann gibt es ein Paar (x,y) mit f(x,y)=z

nämlich z.B. (1 ; z) .

Auch genauer:

nicht bijektiv, da nicht injektiv.

Comments

Danke dir! In ℝ klappt das alles sehr gut, aber ℝ² verwirrt mich immer ein bisschen.

---

R^2 das sind Paare reeller Zahlen.