Wie zeigt man folgende Aussage? (Fakultät, Stirling Zahl, Bijektiv, injektiv, surjektiv)

Question

Ich komme da echt nicht weiter. An sich, weiß ich was gemeint ist aber zum Beispiel bei 2! wäre es ja 2. und das wären dann 1 zu 1 und 2 zu 2. Aber man müsste doch auch die Potenzmenge (1,2) zu (1,2) betrachten. und dann wären es 3 abbildungen. Bitte kann mir da einer helfen

Comments

"An sich, weiß ich was gemeint ist" – ok, dann erkläre mir mal, was bei a) genau gemeint ist, dies ist mir unklar.

Answer 1

a) heißt doch in Worten:   Es gibt n! bijektive Abbildungen einer n-elemnetigen Menge auf sich.

Ich denke, das könnte so gehen:

Das beweist du am besten über Induktion nach n. Etwa so:

Für n=1 gibt es offenbar nur eine.

Wenn es für n richtig ist, dann betrachte die bijektiven Abb'en einer

(n+1) - elementigen Menge M  auf sich.

Sei nun f eine solche Abb.  Wähle  a∈M und betrachte die Einschränkung

von f auf M \ {a}. Die ist bijektiv, wenn man als Zielmenge M \ {f(a)} vorgibt.

Also gibt es n! verschiedene solcher Abbildungen.  Da die Wahl des

a auf n+1 verschiedene Weisen möglich war, gibt es für f also n+1 mal

so viele Möglichkeiten, also n! * (n+1) = (n+1)! .

 

Comments

Mich wundert ein wenig die Zuordnung \(n \mapsto n\)... wie soll man das interpretieren?

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Das n ist ja jeweils unterstrichen. Das scheint mir auf einen Vertreter

der Klasse n , also auf eine n-elementige Menge hinzudeuten.

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mit n strich sind alle elemente kleiner n gemeint. also bei 3 unter strich wären es die elemente 3 2 und 1. danke für die Mühe

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ich würde eher sagen n! ist dasselbe wie die anzahl dieser abbildung f.  und f ist das mit dem unter srich und zusätzlich ist die bijekv