Sind die Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv? Bsp. f: N->N, n--> n^2 - 2n + 3.

Question

Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind:

Für

(a) und  (b) habe ich bijektiv, bin mir aber nicht sicher, weil mich das ↦ verwirrt.

Bei (c) und (d) weiß ich überhaupt nicht weiter. Kann mir jemand erklären, was bei den Funktionen zutrifft?

Answer 1

(a) und  (b) habe ich bijektiv, bin mir aber nicht sicher, weil mich das ↦ verwirrt.

Der Pfeil bedeutet das gleiche wie f(n) = 2n-1

a) inj. stimmt, aber surj. nicht, denn z.B.  2 kommt als Funktionswert nicht vor.

b)

Ist  injektiv, da für n≥1 monoton steigend. Denn f(n+1) - f(n) = 2n-1 > 0

für n aus N.

Allerdings nicht surjektiv, da z.B. 5 als Funktionswert nicht vorkommt.

c) Jede Teilmenge (ungleich leer) von N besitzt ein Minimum, die Funktion

ist also wohldefiniert, aber es können zwei verschiedene Teilm. das gleiche

Minimum besitzen, also nicht inj.

allerdings surj. da z.B. jede einelementige Teilm von N ein vorgegebenes n aus N

als Min. besitzt.

d)  NxN kannst du dir ja als Gitterpunkte im Koordinatensystem vorstellen.

Schreib mal an jeden Gitterpunkt seinen Funktionswert dran, dann siehst du,

dass je zwei verschiedene Gitterpunkte unterschiedliche Werte haben (injektiv),

aber alle n aus N als Wert vorkommen (surj.)

Comments

"b) weder inj.da z.B f( 1) = f(3)  noch surj.da z.B.   0 als Funktionswert nicht vorkommt"

Das stimmt nicht. Erstens ist \(f(1)=2\neq 6=f(3)\). Und zweitens ist hier 0 kein Element der natürlichen Zahlen; ansonsten wäre bei a) \(f(0)=-1\), was aber aufgrund des Wertebereichs \(\mathbb N\) nicht sein kann.

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Danke, da habe ich nicht aufgepasst:

Ist doch injektiv, da für n≥1 monoton steigend.

Allerdings nicht surjektiv, da z.B. 5 als Funktionswert nicht vorkommt.