Stammfunktion per partielle Integration

Question

ich soll prüfen, ob das uneigentliche Integral
$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { sin(x) }{ { x }^{ a } }  } dx $$

für \( a>1\) exisitert.
Hatte gelesen, man soll es über die partielle Integration hinbekommen, was ich dann ausprobiert habe:
$$ \frac { 1 }{ { x }^{ a } } \cdot \left( -cos(x) \right) { | }_{ 1 }^{ \infty  }-\int _{ 1 }^{ \infty  }{ (-a)\cdot { x }^{ -a-1 }\cdot (-cos(x)) } \\ =\frac { -cos(x) }{ { x }^{ a } } { | }_{ 1 }^{ \infty  }-a\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { cos(x) }{ { x }^{ a+1 } }  }  $$

Eine andere Möglichkeit wäre
$$ sin(x)\cdot \frac { 1 }{ a-1 } \cdot (1-{ x }^{ 1-a }){ | }_{ 1 }^{ \infty  }-\int _{ 1 }^{ \infty  }{ cos(x)\cdot \frac { 1 }{ a-1 } \cdot \left( 1-{ x }^{ 1-a } \right)  }  $$
Wissen tue ich außerdem, dass
$$ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ a } } =\frac { 1 }{ a-1 }  }  $$
für \(a>1\) ist.
Wenn ich "unendlich einsetze", so habe ich
$$ \frac { 1 }{ a-1 } \cdot \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ sin(x) }, $$
da
$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ 1-{ x }^{ 1-a } } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ 1-\frac { 1 }{ { x }^{ a-1 } } =1 }  $$
für \(a>1\) ist.
Setze ich \(1\) ein, so erhalte ich einfach nur \(0\). Allerdings sieht das hintere Integral nicht schön aus. Was könnte ich tun?

Answer 1

Ich schlage einen andern Ansatz vor:

Betrachte dein Integral als alternierende Reihe:

Das Flächenstück zwischen 1 und π zählt pos.,

das zwischen π und 2π zählt neg.

das zwischen 2π und 3π zählt pos. und ist betragsmässig kleiner als das Flächenstück eben. usw.

Die Flächenstücke bilden somit (ab dem 2.) eine (betragsmässig monotone) alternierende Nullfolge.

Da das erste Flächenstück auch endlich ist, konvergiert die Summe aller Teilintegrale ==> Das fragliche uneigentliche Integral konvergiert.

PS: Vergiss bei deinen Integralen das dx nicht.