Wie löse ich diese Wurzelgleichung? √(5²+x²) + √(35²+x²) = 50

Question

Also die ursprüngliche Frage war:

Gegeben sind zwei Rechtecke, die sich eine gemeinsame Seite x teilen. Die zweite Seitenlänge des ersten Rechtecks beträgt 5, die des zweiten Rechtecks 35. Die Summe der beiden Diagonalen der Rechtecke beträgt 50. Bestimmen Sie x.

Und da hab ich jetzt diese Gleichung raus.

√(5²+x²) + √(35²+x²) = 50, weil a+b=50

Aber wie rechne ich die Gleichung aus?

Answer 1

$$\sqrt{5^2+x^2}+\sqrt{35^2+x^2}=50 \\ \Rightarrow \sqrt{35^2+x^2}=50-\sqrt{5^2+x^2} \\ \Rightarrow \left( \sqrt{35^2+x^2}\right)^2=\left( 50-\sqrt{5^2+x^2}\right)^2 \\ \Rightarrow 35^2+x^2=50^2-100\sqrt{5^2+x^2}+5^2+x^2 \\ \Rightarrow 1300 = 100 \sqrt{5^2+x^2} \\ \Rightarrow 13=\sqrt{5^2+x^2} \\ \Rightarrow 13^2=\left( \sqrt{5^2+x^2} \right)^2 \\ \Rightarrow 169=5^2+x^2 \\ \Rightarrow 169=25+x^2 \\ \Rightarrow x^2=144 \\ \Rightarrow x=\pm 12$$

Also x=12.

Answer 2

√(5²+x²) + √(35²+x²) = 50

du quadrierst beide Seiten

( √(5²+x²) + √(35²+x²) )^2 = 50^2
5 + x^2 + 2 * √(5²+x²) * √(35²+x²) ) + 35 + x^2 = 2500
2 * x^2  + 40 +  2 * √ [ (5²+x²) *(35²+x²) ] = 2500
x^2 + 20 + √ [ (5²+x²) *(35²+x²) ] = 1250
√ [ (5²+x²) *(35²+x²) ]  = 1230 - x^2

Durch nochmaliges Quadrieren entfällt die Wurzel
Tip : bereits vorher x^2 durch z ersetzen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Zur Kontrolle
x = 12
x = -12