Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch A und B an. Zeichnen Sie die Ebene mit Spurpunkten. (Vektoren Abi)

Question

Gegeben ist die Ebene \( E: \vec{x}-4 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{1}-20 \) und die Punkte \( A(2|6| 0) \) und \( B(0|5| 2) \).

a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden \( g \) durch \( A \) und \( B \) an und zeigen Sie, dass \( g \) in E liegt. Bestimmen Sie die Länge der Strecke \( \overline{\mathrm{AB}} \) und die Koondinaten des Mittelpunktes von \( \overline{\mathrm{AB}} \).

b) Zeichnen Sie die Ebene E mit ihren Spurpunkten in ein Koordinatensystem \( (1 L E=1 \mathrm{~cm}) \).

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \( C \) auf \( E \), der mit \( A \) und \( B \) ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \( \mathrm{AB} \) und dem Flächeninhalt \( 3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}^{2} \) bildet und dessen \( x_{1} \)-Koordinate positiv ist.

Zeichnen Sie das Dreieck in das Koordinatensystem ein.

c) Das Dreieck ABC bildet zusammen mit dem Punkt D(2|1,5|0) eine Pyramide. Bestimmen Sie den Rauminhalt der Pyramide.

d) Gegeben ist die Gerade \( h: \vec{x}-\left(\begin{array}{c}3 \\ 1,5 \\ 1\end{array}\right)+t \left( \begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array} \right), t \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie den Schnittpunkt \( T \) von \( h \) mit \( E \).

Die Spitze S der dreieckigen Pyramide ABCS bewege sich auf der Geraden h. Berechnen Sie den Rauminhalt V(t) der Pyramide ABCS.

e) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABS für jede Lage von \( \mathrm{S} \) gleichschenklig ist.

f) Die Pyramide aus Aufgabe c) wird längs der Ebene \( F: \vec{x}-\left( \begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) + r\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) + s\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) in zwei Körper zerschnitten.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Ebene mit den Pyramidenkanten. Zeigen Sie, dass die Schnittfläche ein Parallelogramm ist.

Answer 1

ich versuche mal, dir zu helfen. Ich bin aber erst Zehntklässlerin, also bitte nicht verurteilen, wenn ich Fehler mache. Hier meine Denkanstöße:

a) Zunächst hast du die Punkte A und b. Nun bilde den Ortsvektor zu A, das ist ja recht simpel. Dies nimmst du dir als Stützvektoren für deine Gerade g. Nun bildest du den Vektor von A nach B - aber merke: Du musst die Koordinaten von A von den Koordinaten des Punktes B subtrahieren. Nun hast du dann auch deinen Richtungsvektor und du kannst deine Gerade angeben (ich hoffe du weißt, wie?).

Um die Länge zu bestimmten, quadrierst du zunächst alle Koordinaten. Diese addierst du dann und am Ende ziehst du daraus die Wurzel. Mit dem Mittelpunkt weiß ich das nicht so recht. Ich würde den Richtungsvektor zur Geraden g (das ist ja der Vektor von A nach B) duch 2 teilen. diese würde ich dann zu A addieren, und der dann erhaltene Punkt ist dein Mittelpunkt. Da bin ich mir wie gesagt aber nicht so sicher.

b) Du hast ja die Ebene in Koordinatenform gegeben. Nun kannst du die Koordinaten deines Normalenvektos ablesen. Aber ich glaube das kannst du hier viel leichter prüfen. Du musst einfach prüfen, ob A und B in E liegen, denn dann liegt g zwangsläufig in E. also setzt du einmal die Koordinaten des Punktes A (x₁|x₂|x₃) und von B(x₁|x₂|x₃) in die Koordinatenform für x₁, x₂ und x₃ ein. Falls auf beiden Seiten das Gleiche heraus kommt, liegen die Punkte in der Ebenen und so auch g.

Bei dem Bestimmen des Punktes C kann ich dir leider gerade nicht helfen. Ich hätte eine (vermutlich falsche) Idee. Und zwar hast du ja diesen Vektoren von A nach B durch 2 geteilt. Das ist dein Vektor von A nach M (Mittelpunkt der Strecke AB). Diesen Vektoren hast du zwei Mal, einmal von M nach A und von M nach B. Dazu, also zu diesen beiden Vektoren, würde ich den darauf senkrecht stehenden Vektoren mithilfe des Kreuzproduktes bilden. Dies ist dein Vektor zum Punkt M zum Punkt C, dessen Koordinaten du nun bestimmen kannst (falls meine Idee denn stimmen sollte).

c) Hier bestimmst du die Vektoren von A nach D, von B nach D und von C nach D. Deren Längen bestimmst du, sowie die Länge des Vektors MC. Dann bestimmst du den Flächeninhalt des Dreieckes mit (1/2*AB*MC). Wie du hier die Höhe bestimmen sollst, um das Volumen zu bestimmen, weiß ich nicht so recht...

d) Hier kann ich dir völligen Unfug erzählen, weil deine Aufnahme leider sehr schlecht ist...Erstmal musst du die Gerade T bestimmen. Dazu nimmst du den Ortsvektor des Punktes M als Stützvektoren und den Vektoren MC als Richtungsvektoren. Nun kannst du die Gerade bestimmen. Anschließend bildest du aus den beiden Geraden ein LGS und löst es auf - so bestimmst du den Schnittpunkt.

Den Rest kann ich leider nicht :((

Bei Fragen kannst du dich trotzdem melden und ich versuche, darauf einzugehen. Ich hoffe, dass es zumindest ein Wenig geholfen hat!

:)

Comments

Was ist denn das kreuzprodukt??

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Ihr hattet das noch nicht? :(

Und da kriegt ihr Abiaufgaben vorgelegt:

Hier habe ich das mal erklärt.

https://www.mathelounge.de/203184/mathe-artikel-die-vektorrechnung-teil-i

Scrolle nach ganz unten und frage bei weiteren Fragen einfach :)

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Achso, du meinst das Vektororodukt!!

Das hatten wir natürlich schon gemacht, nur unter diesem Namen kannte ich es nicht. Auch wenn der natürlich logisch ist.

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Ach so, sorry, ich kenne es nur so. Dann ist ja gut, viel Spaß beim Rechnen :)

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Aber aus welchen Vektoren soll ich denn das Kreuzprodukt bilden?

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Bei dem Bestimmen des Punktes C kann ich dir leider gerade nicht helfen. Ich hätte eine (vermutlich falsche) Idee. Und zwar hast du ja diesen Vektoren von A nach B durch 2 geteilt. Das ist dein Vektor von A nach M (Mittelpunkt der Strecke AB). Diesen Vektoren hast du zwei Mal, einmal von M nach A und von M nach B. Dazu, also zu diesen beiden Vektoren, würde ich den darauf senkrecht stehenden Vektoren mithilfe des Kreuzproduktes bilden. Dies ist dein Vektor zum Punkt M zum Punkt C, dessen Koordinaten du nun bestimmen kannst (falls meine Idee denn stimmen sollte).

Ich weiß ja nicht mal, ob meine Idee stimmt :(