Wie leitet man die Formel für das Volumen eines Oktaeders her?

Question

Wir sollen im Unterricht die Formel für das Volumen eines Oktaeder herleiten. Diese ist a³/3 multipliziert mit √3.

Kann mir jemand in Rechenschritten erklären, wie man an diese Formel kommt?

Comments

Und es ist übrigens der Faktor Wurzel(2) mit dem du multiplizierst und nicht Wurzel(3)

Answer 1

Ein Oktaeder besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit Kantenlängen a ,die an den Grundflächen aufeinandergesetzt werden.
Hier mal eine Skizze von des Querschnittes :

Das soll jetzt keine schöne Zeichung sein :D
Dient ja nur zur Anschaulichkeit.
Also A ist die Spitze der einen Pyramide und B die Spitze der anderen.
Die Fläche d ist die Diagonale der Grundfläche der Pyramide.
Warum ich mir die Skizze so gewählt hast siehst du in dieser hässlichen Skizze :

Die Diagonale der Grundfläche bildet mit der höhe einen rechten Winkel.
Berechnen wir erstmal die Diagonale :
Da es sich um ein Quadrat handelt kann man die Diagonale aus :
a^2+a^2= d^2
Berechnen .
Also d = Wurzel(2) *a
Jetzt betrachte wieder die erste Skizze.
Die Höhe bildet mit der Diagonalen einen rechten Winkel und halbiert diese .
Also haben wir die Seiten Wurzel(2)*a *1/2 , die Höhe und die Seite a in unserem rechtwinkligem Dreieck.
Daraus lässt sich die Höhe :
h^2+ (d/2)^2 = a^2 berechnen.
Also die Höhe ist somit auch gleich Wurzel(2)*a *1/2
Jetzt berechnen wir das Volumen einer Pyramide :
Wurzel(2)*a *1/2 * a^2 *1/3 = a^3*Wurzel(2) *1/6

Das jetzt mal 2 weil wir ja 2 solcher Pyramiden haben und wir kommen auf :
a^3*Wurzel(2) *1/3

Vielleicht etwas weit hergeholt ,aber verständlich hoffe ich.

P.S: Ich kann nicht zeichnen :D

Comments

Aber für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe und der Diagonale bräuchte man doch auch die Länge von der Kante, die die Grundseite mit der Spitze verbindet, oder?

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Ja das hätte ich in der 2. Skizze mal einzeichnen sollen. Jede Kante ist gleich lang. Als die quadratische Grundfläche mit der Länge a und auch die von dir beschriebenen Kanten haben die Länge a.

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Ist das immer so bei Tetraedern und Oktaedern ?

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Kurz gesagt, jap.

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Kannst du hier vielleicht auch hereinschreiben, wie man das Volumen von einem Tetraedern berechnet ? Weiß da nämlich nicht, wo man die Höhe einzeichnen soll....

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Und wie bist du bei a²+(1/2 d)² = h² auf Wurzel 2 * a*1/2 gekommen ? 
Ich komme dort nicht weiter, habe so gerechnet : (√2 * a * 1/2)²+h²=a²  2*a²*1/√2 - a²= -h2 a²* 1/√2 = -h²
Was habe ich hier falsch gerechnet?

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Also kannst du mir hier weiterhelfen ?:)

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"(√2 * a * 1/2)²+h²=a²  2*a²*1/√2 - a²= -h2 a²* 1/√2 = -h^2"

Du machst da einen Fehler beim quadrieren.

Es müsste sein :

(√2 * a * 1/2)²+h²=a^2

(a^2 *2/4)+h²=a^2

(1/2*a^2 )+h²=a^2

h^2= a^2-(1/2*a^2 )
h =√2 * a * 1/2

Habe leider die Benachrichtung gestern übersehen,dass du geantwortet hast ,tut mir leid.

Tetraedervolumen : a^3/12 * Wurzel(2)

Oder möchtest du dafür auch eine komplette Herleitung?

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Zuerstmal vielen Dank, habe es jetzt verstanden :).

Eine komplette Herleitung wäre nett, weiß nämlich nicht, wie und wo man die Höhe dort einzeichnen muss und wie man es berechnet.

LG

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Und darf man in deinem letzten Rechenschritt einfach die Wurzel ziehen oder wie wurde das hoch 2 ausgelöst ?

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Du hast ja die selbe Variable auf der rechten Seite stehen . Beides male a^2.

a^2 - 1/2*a^2 = 1/2a^2  .

Das habe ich Übersprungen.

Stell am besten mal eine neue Frage wegen des Tetraeders. Ich weiß nicht ob ich das zeitlich schaffe grade.

Answer 2

ich würde so beginnen, dass man sich den Oktaeder in zwei zueinander kongruente, quadratische Pyramiden aufteilt. Jede Seite der Pyramide ist gleich lang. Das Volumen einer Pyramide ist allgemein

1/3 * G * h

Da alle Seiten gleich lang sind, ist h = a•√(5/4). Das hab ich jetzt mit dem Satz des Pythagoras berechnet und entsprechend umgeformt.

Um nun das Volumen zu erhalten, multipliziert man mit a²:

V = a³ •((√5)/2)

Das würde ich jetzt mit 2 multiplizieren:

V = 3a²•((3√5)/2).

Nun, weiter komme ich momentan auch nicht und ich wette, da ist irgendwo ein Fehler drin. Vielleicht hilft es dir trotzdem ein Wenig :)

Comments

Dein h ist falsch :)

Vielleicht hilft dir ja meine Antwort.

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okay :((

Aber Versuch macht kluch....

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Aber guter Ansatz.

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Danke dir...jetzt bin ich gerade sauer weil ich das nicht hin bekommen habe :(