Wie leitet man die Formel für den Umfang eines Kreises vom Radius r her?

Question

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe a). Ein paar Leute, die ich gefrage habe, meinten, dass es es reicht einfach 2 * π * r hinzuschreiben, aber ich glaube das reicht nicht...

Wie leitet man die Formel denn her?

Answer 1

Da hast du sicher recht.

Nimm die Kreisfunktion

f(x) = √(r^2 - x^2)

und berechne dort die Bogenlänge im Intervall von 0 bis r. Ich denke das gibt einen Viertel Kreisumfang

∫ (0 bis r) (√(1 + f'(x)^2)) dx = pi*r/2

Probier das mal. Lass dir Notfalls von Wolframalpha etwas helfen.

Answer 2

ein Halbkreis lässt sich als Funktion f(x)=√[r^2-x^2] darstellen, x∈ [-r,r]

f'(x)=x/([√r^2-x^2])

In die Formel für die Bogenlänge eingesetzt ergibt sich

L=∫_-r^r      √[1+x^2/(r^2-x^2)]dx

Substituiere x=r*sin(t)

dx/dr=r*cos(t)--> dx=r*cos(t)*dt

-r=r*sin(-π/2)

r=r*sin(π/2)

--> L=∫_-π/2 ^π/2  √[1+sin(t)^2/(1-sin(t)^2)]*cos(t)*r*dt =∫_-π/2 ^π/2  √[1+sin(t)^2/cos(t)^2]*cos(t)*rdt

= ∫_-π/2 ^π/2  √[cos(t)^2+sin(t)^2]*r*dt=∫_-π/2 ^π/2  r*dt =π*r

--> Umfang eines Vollkreises U=2*π*r