Funktionsgleichung 3. Grades bestimmen (Stelle x = 1 mit Anstieg m = 3/2)

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades schneidet die x-Achse bei x= -2. Des Weiteren besitzt er an der Stelle x = 1 den Anstieg m = 3/2. Die zweite Ableitung der Funktion f lautet f''(x)= x - 1/2.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f.

Answer 1

Hi,

allgemeiner Ansatz: y=ax³+bx²+cx+d

Ableitungen bilden:

y'=3ax²+2bx+c

y''=6ax+2b

 

Wir können sofort a und b bestimmen, da wir wissen wie die zweite Ableitung aussieht:

6ax+2b=x-1/2

Also a=1/6 und b=-1/4

 

Bleiben noch die anderen beiden Informationen:

f(-2)=0

f'(1)=3/2

 

Einsetzen in den Ansatz:

-8a+4b-2c+d=0

3a+2b+c=3/2

 

Wir kennen ja a und b schen. Einsetzen und man erhält aus der zweiten Gleichung c=3/2.

Damit in die erste Gleichung und d=16/3 lässt sich bestimmen.

 

Also f(x) = 1/6*x^3-1/4*x^2+3/2*x+16/3

 

Grüße

Comments

könntest du mir das eventuell erklären wie du das gelöst hast? Ich komm grad nicht drauf :(

Wir können sofort a und b bestimmen, da wir wissen wie die zweite Ableitung aussieht:

6ax+2b=x-1/2

Also a=1/6 und b=-1/4

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Deine zweite Ableitung hast Du vorgegeben: f''(x)=x-1/2

Der Ansatz lautet y''=6ax+b

Vergleichen wir die beiden:

1*x-1/2=6a*x+b

Dass b=-1/2 sein muss, ist sofort ersichtlich. Anders bekommt man die -1/2 nicht hin. Egal was man für a einsetzt.

Das gleiche gilt für ersteres. Es ist völlig unabhängig von b. Demnach muss 6a=1 sein (Das x ist ja auf beiden Seiten und muss nicht berücksichtigt werden.) Folglich bleibt nur noch eine Aussage 6a=1 → a=1/6.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

schneidet die x-Achse bei x= -2.

f(-2) = 0
- 8·a + 4·b - 2·c + d = 0

Des Weiteren besitzt er an der Stelle x= 1 den Anstieg m= 3/2.

f'(1) = 3/2
3·a + 2·b + c = 3/2

Die zweite Ableitung der Funktion f lautet f''(x)= x - 1/2.

6a = 1 und 2b = -1/2

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f.

Probierst du das Gleichungssystem mal zunächst alleine zu lösen? Wenn du dazu fragen hast meld dich aber gerne wieder. Dieses Gleichungssystem lässt sich lösen und man erhält die Lösung 

a = 1/6 ∧ b = - 1/4 ∧ c = 3/2 ∧ d = 16/3

Damit erhalten wir für die Funktion

f(x) = 1/6 x^3 - 1/4 x^2 + 3/2 x + 16/3

 

Answer 3

Folgende Informationen sind bekannt:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(-2) = 0

f'(1) = 3/2

f''(x) = x - 1/2

 

Aus der allgemeinen Form erhält man für erste und zweite Ableitung:

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Nun kann man aus der vierten Information bereits a und b bestimmen:

a = 1/6
b = -1/4

Sodass sich die anderen Informationen leicht auswerten lassen. Zunächst die zweite:

3/6 - 2/4 + c = 3/2

c = 3/2

 

Und nun die erste:

1/6 * (-2)^3 - 1/4 * (-2)^2 + (-2)*3/2 + d = 0

-8/6 - 1 - 6/2 + d = 0

-4/3 - 4 + d = 0  |*6

-8 - 24 + 6d = 0

d = 16/3

 

Damit lautet die Funktionsgleichung:

f(x) = x^3/6 - x^2/4 + 3/2 x + 16/3