Bestimmen Sie die Funktionsgleichung 4 Grades

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Schaubild einer Polynomfunktion 4 Grades. NST liegen bei -2 und 2. Die Minimawerte bertragen -2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Berechnen Sie die Tangentengleichung in den NST.

Problem/Ansatz:

Also ich verstehe dass man die Tangentengleichung an den Nullstellen bekommt indem man die Funktion ableitet und den Punkt einsetzt. Aber ich verstehe nicht wie ich die Polynomfunktion bestimmen kann. Geht das mit der Produktformel? Und wie lautet diese bei Funktionen 4 Grades. Mit LGS kam ich nicht weiter da bei den Punkten -2 und 2 zwei identische Gleichungen rauskommen, die sich kürzen.

Answer 1

Aloha :)

Bei \(x=0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor. Doppelt, weil der Graph die \(x\)-Achse nur berührt und nicht schneidet. Also taucht der Faktor \(x^2\) in der Funktion auf.

Weitere Nullstellen liegen bei \(\pm2\), also tauchen in der Funktion die Faktoren \((x\pm2)\) auf.

Diese 4 Nullstellen legen die Funktion \(4\)-ten Grades bis auf eine Konstante \(a\) fest:$$f(x)=a\cdot x^2(x+2)(x-2)=a\cdot x^2(x^2-4)$$$$\phantom{f(x)}=a\cdot(x^4-4x^2)=a\cdot((x^4-4x^2\pink{+4})\pink{-4})=a\cdot((x^2-2)^2-4)$$$$\phantom{f(x)}=a\cdot(x^2-2)^2-4a$$Für \(x=\pm\sqrt2\) erreicht die Funktion ihr Minimumm \((-4a)\). Laut Abb. liegt dieses Minimum bei \((-2)\). Daher ist \(a=\frac12\) und wir haben die Funktion konstruiert:$$f(x)=\frac12x^2(x^2-4)$$

~plot~ 1/2*x^2*(x^2-4) ; [[-2,5|2,5|-2,5|1]] ~plot~

Komst du damit weiter?

Comments

Vielen Dank, ich verstehe nur nicht woher die +/- Wurzel 2 kommt

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Der Term \((x^2-2)^2\) ist als Quadratzahl immer \(\ge0\).

Das Minimum liegt daher vor, wenn \((x^2-2)^2=0\) ist.

Das ist für \(x=\pm\sqrt2\) der Fall.

Answer 2

Die Funktion ist achsensymmetrisch, deswegen kannst du y=a*x^4+b*x^2+c verwenden, also nur gerade Exponenten und 0. Jetzt brauchst du nur noch 3 Informationen , die du locker aus dem Schaubild entnehmen kannst.

Comments

Dankeschön. Also ich habe für c=0 mit dem Punkt (0/0) berechnet. Aber mit dem Punkt (-2/0) und (2/0) kommt durch das quadrieren bei  f(x)= ax^4+bx^2 zwei selbe Gleichungen raus. Also ich kann das LGS nicht verwenden. Welche dritte Information gibt es noch?

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Diese beiden Punkte kannst du nicht gleichzeitig verwenden, da du die Eigenschaft der Symmetrie schon verwendet hast, um die ungeraden Exponenten wegzulassen.

Du kannst als weitere Information die Eigenschaft des Extremums verwenden, dass im Extrempunkt die Steigung der Tangente an den Graphen Null ist. D.h. f'(0)=0

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Wie ich gerade fest stelle bringt es nichts Null in die Ableitung einzusetzen. Da kommt nichts raus. Aber es geht folgendermaßen:

f'(x_{e})=4ax_{e}^3+2bx_{e}=0

Satz vom Nullprodukt

x_{e1}=0

4ax_{e}^2+2b=0

4ax_{e}^2=-2b

x_{e}^2=-b/(2a)

x_{e2,3}=±√(-b/(2a))

Das sieht jetzt erstmal etwas sperrig aus, ist es aber gar nicht wenn man es vernünftig aufschreibt. Man kann jetzt die Information nutzen, dass die Extrempunkte den y-Wert -2 haben, also

ax_{e}^4+bx_{e}^2=-2

So, hier kann man jetzt dem oberen Term für x_{e} einsetzen (die positive Wurzel reicht aus) und da kriegt man dann tatsächlich a und b bei raus. Zugegeben, es ist etwas aufwändig. Falls das noch jemanden interessiert führe ich es noch weiter aus. Ansonsten hat es mich im wesentlichen selber interessiert, ob man das so hinkriegen kann.