Aloha :)
Die Summe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}\) konvergiert genau dann, wenn \(\alpha>1\) ist.
zu (i) Ein positiver Bruch wächst, wenn sein Nenner schrumpft:$$\sum\limits_{n=8}^\infty\frac{1}{n^2-7n}=\sum\limits_{n=8}^\infty\frac{1}{n(n-7)}\pink<\sum\limits_{n=8}^\infty\frac{1}{(n\pink{-7})(n-7)}=\sum\limits_{n=8}^\infty\frac{1}{(n-7)^2}=\sum\limits_{n=\green1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty$$
zu (ii) Ein positiver Bruch wächst, wenn sein Zähler wächst oder sein Nenner schrumpft:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n-1}}{n^2+1}<\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n-1}}{n^2}<\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}}<\infty$$
