Muss ich das Integralkriterium anwenden ?
Entscheiden Sie begründet, ob die Reihe
$$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} k e^{-k^2} $$
konvergent oder divergent ist.
$$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} k e^{-k^{2}} \Leftrightarrow \int \limits_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x \quad | \text { substituiere } \quad \begin{array}{l} {u=-x^{2}} \\ {"d x=-\frac{1}{2 x} d u"} \end{array} \quad u^{\prime}=-2 x $$
$$ \begin{array}{l} {=\int \limits_{1}^{\infty} x \cdot e^{u} \cdot \frac{1}{2 x} d u=-\frac{1}{2} \int \limits_{1}^{\infty} e^{u} d u \quad \text { Rücksubstitution } u=-x^{2}} \\ {=-\frac{1}{2}\left[e^{-x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=-\frac{1}{2}\left[0-e^{-1^{2}}\right] \quad \Rightarrow \text { konvergent }} \end{array} $$
