Minimum, Maximum ,Sattelpunkt

Question

Hallo,

ich habe Funktion F(x,y)= e^(-x^2+2x-y^2)

Ich muss Minimum, Maximum ,Sattelpunkt bestimmen.

Ich habe Fx,Fy , Fxy und Fyx gefunden.

Fx=(-2x+2)e^(-x^2+2x-y^2)

Fy=-2y  e^(-x^2+2x-y^2)

Fxy=Fyx= e^(-x^2+2x-y^2)-2ye^(-x^2+2x-y^2)(-2x+2)

Wie mache ich es weiter, kann ich e ^() gleich 0 setzen?

Answer 1

Löse das Gleichungssystem

    0 = (-2x+2)·e^-x2+2x-y2
    0 = -2y·e^-x2+2x-y2

Setze die Lösungen in die Hesse-Matrix ein und prüfe auf Definitheit.

• Ist sie positiv definit, dann existiert dort ein lokales Minimum.
• Ist sie negativ definit, dann existiert dort ein lokales Maximum.
• Ist sie indefinit, dann existiert dort ein Sattelpunkt.
  

Comments

ich kriege dann x=1 und y=0.

Darf ich e^() auch gleich null setzen und w=dann wie?

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ich kriege dann x=1 und y=0.

Das ist korrekt

Darf ich e^() auch gleich null setzen

Ja.

und w=dann wie?

Indem du eine 0 aufschreibst, dann ein Gleichheitszeichen und dann das e^().

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aber dann habe ich e^()=0 und dann -x^2+2x-y^2=0 und es ist keine pq Formel

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und dann -x²+2x-y²=0

Wie kommst du darauf?

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ich setze e^()=o

und dann e einfach weg

sorry, ich verstehe es nicht

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und dann e einfach weg

Es gibt kein Rechengesetz, dass dir das erlaubt.

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dann wie soll ich das machen?

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Gleichungen der Form

        e^a = b

löst man nach a auf mittels des natürlichen Logarithmus:

        a = ln(b).

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aber dann wenn wir es gleich 0 setzen-  kommt ln(0) und das geht nicht weiter

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Das ist richtig.

x=1, y=0 ist die einzige Lösung des Gleichungssystems.

Die Gleichung e^-x2+2x-y2 = 0 liefert keine weitere Lösung.

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das heisst ,dass wir e^() nicht gleich 0 machen können , ja?

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Das ist auch richtig.

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dann haben wir am Anfang diese x=1 und y=0 gefunden und was machen wir damit weiter?

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In die Hesse-Matrix einsetzen und auf Definitheit prüfen.

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habe jetzt gemacht und bei diese Gleichung

Fxx(1;0)Fyy(1;0)-F^2xy bekomme ich negative zahl

dann es gibt es ein Sattelpunkt

und ich kriege P(1/0/e^3)

richtig?

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Fxx(1;0)Fyy(1;0)-F^2xy 

Ich weiß nicht was das bedeuten soll.

Ich bekomme -2e als einzigen Eingenwert. Also ist die Matrix negativ definit. Somit hat F bei (1, 0) ein Maximum.