Trigonometrie: Wie kann man cos(4*pi/3) in Wurzelterm umschreiben?

Question

ich beginne meine Frage mit einem Beispiel, weil sich sonst die Formuliereung der Frage für mich als schwierig erweist.

Ich habe cos(x+y) mein x ist pi und mein y ist pi/3. Sprich x+y = 4*pi/3.

Mein mein Cos(pi/3) ist ja das gleiche wie sqrt(1)/2 also habe ich mir gedacht das man cos(4*pi/3) als 4*sqrt(1)/2 umschreiben kann.

jetzt weiß ich das man das nicht kann man Cos(pi) und cos(pi/3) einzeln umschreiben muss sodass dann -1+sqrt(1)/2 raus kommt. Was auch richtig ist.

Jetzt meine Frage was habe ich bei meiner 1. Vorgehensweise nicht beachtet? Bzw. warum ist das falsch?

Hoffe ihr versteht ein wenig meine Frage^^

Comments

1. Etwas stimmt bei der Klammerung deiner Wurzeln nicht. Nochmals überdenken. √(1) = 1.

2. Dir ist bewusst, dass man via Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis einfach auf cos(pi/3) kommt?

3. Man kann 4 nicht einfach aus dem Argument von cos(....) ausklammern. Für cos(x+y) musst du das entsprechende Additionstheorem verwenden.

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4. EDIT: Ich habe in der Überschrift eine Frage formuliert. Ist das kurz ausgedrückt ungefähr deine Frage?

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Hey ja so ungefähr :) Mir war halt nicht klar wie man sin(x+y) umschreiben kann. Das Stichwort Additionstheorem hat mir weitergeholfen.  Gibt es einen anderen Weg als wie das Additionstheorem, weil ich habe darüber in der Vorlesung nichts mitbekommen und dachte mir jetzt das es vielleicht einen anderen Weg geben könnte.

Oder gibt es noch ähnliche Regelung die ich in diesem Themenbereich wissen muss?

Jedoch verstehe ich nicht was du mit deinem 2. Punkt meinst.

Trotzdem vielen Dank

Answer 1

selbst mit Beispiel ist es schwierig zu verstehen.

Du hast cos(π+4/3).

Und was soll dann damit geschehen? Vielleicht kannst du mir einfach mal die Aufgabenstellung nennen dann kann ich eventuell helfen :)

Comments

ich versuch mal die frage anders zu stellen. Und zwar möchte ich von -33*sin(pi+(pi/3)) auf (33/2) * wurzel(3) kommen. Wie mache komme ich darauf ohne Taschenrechner?

Danke dir im Voraus.

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puh...in deinen Frage-Themen steht "Taylorreihe" bei, das hatte ich noch gar nicht. :(

Answer 2

Zum Punkt 2. Betrachte die Zeichnung in der Rubrik Triangle hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%284π%2F3%29

Das ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1.

Da kannst du cos(4π/3) = -1/2 gerade ablesen und dann sin(4π/3) mit dem Pythagoras als

sin^2(4π/3) = 1 - cos^2(4π/3) = 1 -1/4 = 3/4       | √   , Vorzeichen überlegen.

sin(4π/3) = - √(3)/2  , Das Vorzeichen - erkennst du im Einheitskreis.

Vergleiche noch mit dem Dreieck im 1. Quadranten für cos(π/3) hier:  https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28π%2F3%29

Answer 3

da cos(x)=sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)=1-2sin(x/2)²

cos(4Pi/3)=1-2 * sin(2Pi/3)^2 = 1- 2* (sqrt(3)/2)^2 = -1/2

alles unter http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Aufgabe2:

weil sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) = sin(x)*sqrt(1-sin(y)²) + cos(x)*sin(y)

-33*sin(pi+(pi/3)) = -33*(0*sqrt(1-sin(y)²) +(-1)*sqrt(3)/2)

=33*sqrt(3)/2