Verständnisfrage - Umformung bei Induktion / Potenzgesetze?

Question

Aufgabe:

Man zeige mit vollständiger Induktion:

\( \sum \limits_{t=1}^{n} t^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \).

i) Induktionsanfang. Sei \( n=1 \), dann \( \sum \limits_{t=1}^{1} t^{2}=1^{2}=\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)=1 \)

ii) Induktionsvoraussetzung: Sei \( \sum \limits_{t=1}^{n} t^{2}=1^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \), bereits bewiesen.

iii) Induktionsschritt \( n \longrightarrow n+1 \) :

\( \begin{aligned} \sum \limits_{t=1}^{n+1} t^{2} &=\sum \limits_{t=1}^{n} t^{2}+(n+1)^{2} \\ &=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)+(n+1)^{2} \\ &=\frac{1}{6}(n+1)(n(2 n+1)+6(n+1)) \\ &=\frac{1}{6}(n+1) \underbrace{\left(2 n^{2}+7 n+6\right)}_{=(n+2)(2 n+3)} \\ &=\frac{1}{6}(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) \end{aligned} \)

Ansatz/Problem:

Induktionen sind mir halbwegs klar, jedoch erschließt sich mir die geschweifte Klammer in der vorletzten Zeile nicht.

Warum ist (2n² + 7n + 6) = (n+2)(2n+3)?

Answer 1

Hi,

was ergibt denn (n+2)(2n+3) ausmultipliziert?

Machen wir das mal Schritt für Schritt:

n*2n = 2n²

n*3 = 3n

2*2n= 4n

2*3= 6

Also steht da 2n^2+3n+4n+6 und nunf fasst man das noch zusammen und man kommt auf 2n^2+7n+6

Comments

... Du hast natürlich recht! Kurzer Totalausfall, denn ich habe bei der Induktion das Ende ja schon vorgegeben.
Ich bin davon ausgegangen, dass ich von (2n² + 7n + 6) selbst auf (n+2)(2n+3) kommen muss, dabei ist das ja schon gegeben. Einfach mal von hinten rechnen, anstatt von vorne. Zeit für eine Pause :-)

Dank dir!