Vektorrechnung: Haus mit Pyramidendach z.B. Schattenpunkt berechnen. Ansatzhilfe gesucht!

Question

Aufgabe:

Ein Haus steht in einem Hang. Die Ecken davon sind die verschiedenen Punkte. Das Haus besteht aus einem Quader und einer aufgesetzten Pyramide als Dach.

Folgende Punkte sind bekannt. A(4/0/0), B(4/4/0), D(0/0/3), F(4/4/10), H(0/0/10) [Angaben in Meter (m)]

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C, E, G und S

b) Der Steilhang liegt in der Ebene, die durch die Punkte A, B, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene auf.

c) Ein Sonnenstrahl, dessen Richtung durch den Vektor a = (-2 / 1 / -1) beschrieben werden kann, erzeugt auf dem Hang Punkt S´ einen Schatten der Turmspitze S. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes.

d) An den Punkten F und H wird ein 6cm langes Seil befestigt. Genau in die Mitte T des durchhängenden Seiles wird eine schwere Lampe gehängt. Bestimmen Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes.

Bisher hatten wir keinerlei Textaufgaben in der Vektorrechnung gerechnet. Ich suche für die Aufgabe keine vollständige Lösung, aber da ich die am Freitag vorrechnen soll, wäre ich über Lösungsansätze dankbar0 damit ich weiß, wie ich wo vorgehen muss. Bisher haben wir im Unterricht nur Vektoren addiert/subtrahiert, das Skarlarprodukt berechnet und das Kreuzprodukt.

Dies ist die Zeichnung zur Aufgabe.

Comments

Kann es sein, dass da noch eine Angabe zur Höhe des Daches (oder ähnliches) fehlt?

Wenn ich mich recht erinnere, waren das 4m.

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Ja das stimmt, du hast Recht. 4 m ist die Höhe, das hatte ich vergessen zu schreiben.

Woher kennst du die Aufgabe? Unser Lehrer hat die nicht aus einem Mathebuch, sondern so mitgebracht.

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Ich bin mir nicht mehr so ganz sicher, ich dachte erst, das wäre eine Aufgabe gewesen, die mir in meinem eigenen Abitur gestellt wurde, aber ich habe nochmal ein bisschen gegoogelt: da gab es zwar eine "Haus am Hang"-Aufgabe, aber die unterschied sich ein bisschen von dieser hier.

Auf jeden Fall habe ich die Aufgabe selbst schonmal gerechnet.

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Die Aufgabe hat jetzt keinen speziellen Namen.

Habe hier genau sowas gefunden nennt sich "Turm im Steilhang".

http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/pruefungen/gemeinsames_Abitur_Be_BB/Mathematik_Beispiele_2010.pdf

Zeichnung ist ja so ähnlich wie die von meinem Turm bzw. Haus, nur hat andere Aufgaben mit

Winkeln ausrechnen und so.

Answer 1

Die Aufgabe a) ist komplett durch Vektoraddition und das Vergleichen der Punkte lösbar.

Zum Beispiel erhält du die Koordinaten von C aus den Koordinaten von A, B und D:

C hat dieselbe x und dieselbe z Koordinate wie D und dieselbe y Koordinate wie B:

⇒ C(0/4/3)

Analog erhält man E und G.

S ist etwas schwerer: damit das Dach eine Pyramide ist, muss S genau in der Mitte der Fläche liegen, hat also die x und y Koordinate 2. Damit die Höhe des Dachs 4 ist, muss außerdem gelten:

S(2/2/14)

b) Die Ebene gibt man am besten in der Parameterform an, also als

E: x = a + kb + jc

Hierbei geben fette Buchstaben Vektoren und normal gedruckte Buchstaben Zahlen an.

a heißt Stützvektor und b und c heißen Richtungsvektoren der Ebene. Da nur maximal zwei Vektoren der Ebene linear abhängig sind, genügt es, genau zwei zu finden, welche das sind ist egal (solange nicht einer nur ein Vielfaches des anderen ist).

Für a kann der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebenen gewählt werden, zum Beispiel

A(4/0/0)

Die Richtungsvektoren können dann zum Beispiel die Vektoren AB und AD sein, die man aus der Differenz der Ortsvektoren bestimmt.

c) Man beschreibt den Sonnenstrahl durch eine Gerade, die die Gleichung

g: x = d + me

besitzt, wobei wieder d der Stützvektor und e der Richtungsvektor der Geraden ist.
Als Stützvektor wählt man die Turmspitze, der Richtungsvektor ist als (-2/1/-1) angegeben.

Der Schattenpunkt ist nun der Schnittpunkt von E und g, er ergibt sich, indem man die beiden Bestimmungsgleichungen gleichsetzt und die resultierenden Werte für k, j und m berechnet.

d) Die x und y Koordinaten des Punktes sind natürlichd die selben, wie die von S.
Um die z-Koordinate zu bestimmen, benötigt man den Satz des Pythagoras: sei P der Punkt in der Mitte zwischen F und H, dann bilden FP, PT und TF ein rechtwinkliges Dreieck, sodass dann die Differenz zwischen dem Dachboden und der Lampe bestimmt werden kann.

Um deine Resultate zu überprüfen, findest du übrigens hier (auf Seite 6) die Zahlenwerte der Lösungen, allerdings ohne Herleitung.