satz von bolzano-weierstraß und cauchy folge.

Question

Hallo :) habe mal eine Frage zum Satz von bolzano - weierstras.

Jede beschränkte Folge in R besitzt eine konvergente Teilfolge.

Bedeutet das beschränkt = konvergent?

Und wie sieht so eine teilfolge denn genau aus? Habe probleme mir das vorzustellen.

Passend dazu hab ich auch eine Frage zu der Cauchy -Folge:

Wie sieht so eine Folge aus?

Wir haben diese Definition: eine Folge (a_n)_n∈N, heißt cauchy Folge, wenn es zu jedem ε >0  ein N ∈ N (natürliche Zahlen) gibt, sodass |a_n - a_m| < ε für alle n,m >= N ist 

Bitte extra für dumme erklären, (das schreib ich in jeden meiner Fragen rein ;))

Answer 1

Erstmal zu Bolzano-Weierstrauß:
Eine konvergente Teilfolge ist eine Teilfolge,die aus Folgenglieder der Folge bestehen.

Also hast du eine Folge die aus den Gliedern:
(a1, a2,a3,a4,a5....an) besteht. So ist eine Teilfolge z.b.  (a_2n) . Das wären dann zum Beispiel alle zweiten Glieder.  Laut dem Satz existiert so eine Teilfolge(wenn die Gesamtfolge beschränkt ist),die gegen einen bestimmten Wert konvergiert.
Also so viel gibt es da eigentlich nicht zu erklären.

Der Satz besagt nicht,dass die gesamte Folge konvergiert.

Ein Beispiel :
Nehmen wir die Folge a_n=(-1)^n

Diese Folge nimmt die Werte:
{1,-1,1,-1,1......} an .

Diese Folge ist beschränkt, da sie nur aus den Werten 1 und -1 besteht.(Sogar nach oben und nach unten beschränkt.)

Nach dem Satz gibt es jetzt also mindenstens eine Konvergente Teilfolge.

Wählen wir doch mal,wie vorhin erwähnt ,die Teilfolge a_2n das sind ja genau die Glieder für die gilt:

(-1)^2n also sind diese Glieder alle =1 .

Die Teilfolge nimmt also die Werte {1,1,1,1,1,1,1.....1} an für  n ∈N

Die Teilfolge konvergiert also gegen 1 . Die gesamte Folge konvergiert ,aber nicht.

Zur Cauchy-Folge:
Eine Folge ist nach deiner genannte Definition Cauchy.

Was genau besagt die Definition?

Die Definition besagt damit,dass du den Abstand zweier Folgeglieder betrachten kannst und bei dieser Betrachtung dir einen beliebig kleinen Wert aussuchen kannst. Diesen beliebig kleinen Abstand wirst du ab einer bestimmten Anzahl an Folgegliedern (N) zwischen zwei Folgegliedern finden.
Ich bekomme das grade nicht so gut erklärt. Mal vielleicht etwas praktischer.

Ich habe eine Cauchy-Folge:
Jetzt sage ich, ich möchte,dass zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge sich höchstens um ε= 0,1 unterscheiden.
Ab einem gewissen N finde ich zwei Glieder an und am für die dies gilt.
Ich kann mir mein ε aber noch kleiner wählen.
Sei es ε=0,000001 oder ε=0,000000001 oder noch kleiner.
Ich finde immer zwei Glieder für die gilt |an-am|<ε
Also zwei Glieder dessen Abstand noch geringer ist.
Wenn du jetzt Glieder hast,die sich immer mehr annähern(mit wirklich unendlich kleinem Abstand zueinander ) so ist dies äquivalent dazu,dass die Folge konvergiert.
Cauchy-Folgen sind also Konvergente Folgen.

Achja und vielleicht noch etwas dranhängen:
Dir fällt bestimmt auch auch,dass die Definition der Cauchy-Folge ähnlich ist zu der Definition,dass eine Folge konvergiert. Bei einer Cauchy-Folge ist jedoch der Unterschied,dass der Abstand zwischen zwei Folgegliedern gemessen wird und nicht der Abstand zwischen einem Folgeglied und dem Grenzwert