Beweisen Sie: Es existiert ein α>0 derart, dass f(x) ≥ α für alle x ∈ [a, b] (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \), und sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}_{>0} \) eine stetige Funktion. Beweisen Sie: Es existiert ein \( \alpha>0 \) derart, dass \( f(x) \geq \alpha \) für alle \( x \in[a, b] \)

Hinweis: Nehmen Sie das Gegenteil an, und benutzen Sie dann den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Und zwar habe ich ein Problem, von der Aufgabe irgendwie zu Bolzano-Weierstraß zu kommen... der Satz sagt ja, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat. Also muss ich irgendwie über Folgen argumentieren.

Da f stetig ist, habe ich versucht, irgendwie durch das Folgenkriterium anzusetzen.. leider bisher ohne Erfolg. Könnte mir jemand einen Lösungsansatz / Tipp geben?

Answer 1

Nehme an, es gebe kein \(\alpha > 0\), sodass \(f(x)\geq\alpha\) für alle \(x\in[a,b]\). Das bedeutet, dass \(f\) im Intervall beliebig nah an 0 rannkommt. Dann gibt es für jedes \(n\in\mathbb{N}\) ein \(x_n\in [a,b]\) mit \(0 < f(x_n) < \frac{1}{n}\) (*). Man kann diese \(x_n\) zu einer Folge \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) zusammenfassen. Diese Folge liegt in \([a,b]\), d.h. sie ist beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat diese Folge also eine konvergente Teilfolge \( (x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}} \), d.h. \(x_{n_k} \underset{k\rightarrow \infty}{\longrightarrow} x \in [a,b] \). Folglich konvergiert \(f(x_{n_k}) \), und zwar gegen \(f(x) \in \mathbb{R_{>0}} \) für \(k\rightarrow \infty \).

Nutze (*) und \(n_k \geq k\), um \(f(x_{n_k})\) nach oben zu beschränken. Dann einfach \(k\) gegen unendlich gehen lassen und du erhältst einen Widerspruch.

Comments

Hallo LC,

vielen Dank für Deine Mühe!

Ein, zwei Fragen habe ich trotzdem noch:

1)  $$f({ x }_{ { n }_{ k } })$$ konvertiert wegen der Stetigkeit von f gegen f(x), korrekt?

2) Die letzte Bemerkung verstehe ich nicht. Meinst Du, dass die Teilfolge dadurch nach oben beschränkt ist, dass die Funktionswerte der Folge nach oben beschränkt sind? Und müsste $$n_k\ge k$$ nicht im vorherigen Sinne einfach $$n \ge k$$ heißen?

Wenn Du mir die beiden Fragen noch beantworten könntest, wäre ich Dir sehr dankbar! :)

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Zu 1): Genau, da nutzt man die Stetigkeit von \(f\).

Zu 2): \(n\geq k\) gilt nicht zwingend (hängt ja von \(k\) und \(n\) ab). Aber \(n_k \geq k\) gilt, da \( (x_{n_k}) \) eine Teilfolge von \( (x_n) \) ist. Das heißt nur, dass die Indizes \(n_1, \dots, n_k\) immer größer oder gleich \(1,\dots, k\) sind. Das folgt einfach aus der Definition von Teilfolgen, denn die Folge der Indizes \( (n_k)\) ist monoton steigend. Das ist eigentlich auch unwichtig, du sollst eben nur bemerken, dass \(n_k \longrightarrow \infty \) für \(k \rightarrow \infty \).

Zu der Sache mit der Teilfolge:

Die Folge \( (x_n) \) ist ja gerade so konstruiert, dass \(f(x_n) < \frac{1}{n} \). Die Existenz dieser Folge ist dadurch garantiert, dass wir das Gegenteil der zu zeigenden Behauptung angenommen haben. Ersetze einfach in der Ungleichung \(f(x_n) < \frac{1}{n} \) das \(n\) durch \(n_k\) und lass auf beiden Seiten \(k\) gegen unendlich gehen. Dann bekommst du wie gesagt einen Widerspruch.

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Vielen Dank, nun habe ich es verstanden! :)