Bakterienkultur. Anzahl Bakterien nach x Stunden. f(x) = 800*1,2^x

Question

Die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = 800*1,2^x angegeben werden, wobei x die Zeit in Stundem nach Beginn der Messung angibt.

a) Bestimmen Sie die Anzahl der Bakterien drei Stunden nach Beginn der Messung und drei Stunden vor Beginn der Messung.

b) Schreiben Sie die Funktion f mithilfe der Basis e und skizzieren Sie den Verlauf des Graphen mithilfe der Funktionswerte f(-1), f(0) und f(1).

c) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f und erläutern Sie die Bedeutung im Kontext. 

d) Betechnen Sie, ab wann die Bakterienzunahme pro Stunde größer als 1000 ist.

Comments

f(x) = 800*1,2^x

800*1.2^x = 800 * e^{a*x}
es reduziert sich auf den Zusammhang
1.2^x = e^{a*x}  | ln
x * ln (1.2) = a * x * ln ( e )
x * ln (1.2) = a * x
ln (1.2) = a

f ( x ) = 800 * 1.2^x = 800 * e^{ ln [1.2] * x}

Answer 1

zu a:

3 Stunden davor: berechne f(-3)=800*1,2^-3 ; 3 Stunden danach: berechne f(3)

zu b: wegen g(t) = A*k^t= A * e^{ln( k )t} wird: f(x)= 800*e^{ln( 1,2 )x}= 800*e^0,1823 x zeichne dies....

zu c: Ableitungen sind immer Änderungsraten, hier gibt die Ableitung also den momentan Zuwachs pro Zeiteinheit der Bakterienkultur zu einer bestimmten Zeit x. die Ableitung ist: f'(x)= 0,1823*800*e^{0,1823 x}

zu d. die Bakterienzunahme findet sich in der Ableitung. Es ist gefragt wann f'(x) > 1000, berechne dafür f'(x)=1000, also setzte:

1000=0,1823*800*e^0,1823 x und stelle nach x frei .... es wird :

1000/(0,1283*800)=e^{0,1823 x}              jetzt ln() auf beiden Seiten

ln(1000/(0,1283*800))=0,1283*x

x=ln(1000/(0,1283*800))/0,1283

Comments

Wurde was vertauscht bei der Formel 0,1823 zu 0,1283?